Question

ゆる

☆高校数学IIです☆
問題文に接線の傾きが3xの二乗+6x-9となってるのですがどうしてその式を積分するのかがわかりません。
どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

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例題 220 曲線の決定
曲線y=f(x)は点 (1,3) を通り,その曲線上の任意の点(x,y) にお
ける接線の傾きは 3x2+6x-9 に等しいという. この曲線の方程式を求め
よ
考え方 曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きはf'(x)より、
f'(x)=3x2+6x-9 となることと, 曲線が点 (1, -3) を通ることを利用する。
f'(x)=3x2+6x-9 より
f(x)=f(x)dx
=
(3x2+6x-9)dx
=x+3x2-9x+C (Cは積分定数)
曲線 y=f(x)は点 (1, -3) を通るから,f(1)=-3
したがって 13+3・1°-9・1+C=-3 より
C=2
よって、 求める曲線の方程式は,
y=x2+3x²-9x+2
接線の傾きはf'(x)
Cを忘れずに!!
y=f(x) に
x=1, y=-3 を代
入する.
Lecua
zb(8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

詩音

例えば、y＝f(x)＝x²+2xという関数があるとします。
この関数上の点(1,3),(-1,-1)における
接線の傾きを求めてください。

こういった問題がある時、まずf(x)を微分して
f'(x)＝2x+2　この式にx＝1,-1を代入して
接線の傾きを求めることができますよね。
もちろん他のf(x)上の点(0,0),(3,15)……
なども同じように求めることができます。
つまり、y＝f(x)上の任意の点(x,y)における
接線の傾きは、元の関数f(x)を微分した関数である
f'(x)＝2x+2で表すことができます。

微分と積分には非常に深い関係がありましたよね。
f(x)を微分するとf'(x)、f'(x)を積分するとf(x)+C
一度微分した関数は、積分してあげると元の関数に
積分定数が足されたものになります。
この積分定数さえ求めてしまえれば、
元の関数を特定できるんです。

実際、私が出した例題でも
f'(x)＝2x+2を積分するとf(x)＝x²+2x+C
f(x)は題より(-1,-1)を通りますから、
f(-1)＝-1＝1-2+C　C＝0
よってf(x)＝x²+2x　という風に元通りです。

ここまで理解できたでしょうか。本題に戻りますね。
今回の問題では、ある関数f(x)の接線の傾きが
f'(x)＝3x²+6x-9で表せるんです。
上と同じように考えると、これを積分してあげたら
元の関数に積分定数が足されたものになるはずです。
あとはこの積分定数を求めて……という風にすると
この問題を解くことができます。

分かりにくかったらすみません🙇‍♀️

ゆる

解説ありがとうございました！！すごくわかりやすかったです✨