Question

しの

この問題についてなんですけど、解説にある数値代入法がなぜ成立するのかわからないので教えてください。

成立するのかと疑問に思った理由としては0で割ることができないのに代入することにより0で割っているため成り立たないのではと思いました

基本 例題 17 分数式の恒等式
0000
|次の等式がxについての恒等式となるように, 定数a, b, c の値を定め
215-2x²+6 (
=
(x+1)(x-1)2x+1
bc
x-1
・+
20+(1+
(x-1)2
基本15
指針 分数式でも、分母を0とするxの値 (本間では-1,1)を除いて, すべてのxについ
て成り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると
a(x-1)-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
(x+1)(x-1)2
2x2+6
(x+1)(x-1)。
両辺の分母が一致しているから、でも、あったら教較法または
入法でα, b, c の値を定める。 このとき, 分母を払った 多項式を考えるから、分母を
0 にする値 x=-1,1も代入してよい (下の検討 参照)。
解答
両辺に (x+1)(x-1) を掛けて得られる等式
-2x2+6=a(x-1)2-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。 8.0J
解答 1. (右辺) = a(x²-2x+1)-6(x²-1)+cx+c
(分母) 0から
①
(x+1)(x-1)^≠0
|係数比較法による解答
=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+cx
よって-2x2+6=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c=
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
a-b=-2, -2a+c=0,a+b+c=6
この連立方程式を解いて
a=1, 6=3,c=2
友人「両辺の係数を比較して
と書いてもよい。
解答2. ①の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると それぞれ 数値代入法による解答
4=4a, 6=a+b+c, 4=2c
この連立方程式を解いてctd-0
a=1, b=3,c=2
このとき、①の両辺は2次以下の多項式であり,異なる
3個のxの値に対して成り立つから,①はxについての
恒等式である。
したがって
a=1,6=3,c=2
Jei
a, b, c の値を
求めた
の右辺に代入し, 展開
たものが ① の左辺と
致することを確かめて
よい。
分母を0にする値の代入
分母を0にす

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sin theta

分母が0になる値以外になるxで式が成立するので，最終的にはすべてのxで成立することがいえます。

しの

なるほど… ありがとうございます