Question

みみ

式と曲線の範囲です。なぜ場合分けをしているのかわからないです。それと、pが2√3の場合を考えたのならqが2の場合は考えなくて良いのでしょうか？

103
13xy+5y'=24 で表される曲線である。
Cを,原点を中心に反時計回りにだけ回転して得られる曲線 C2 の方程式を求めよ。
C2 の外部の点Pから引いた2本の接線が直交する場合の点Pの軌跡を求めよ。
C の外部の点Qから引いた2本の接線が直交する場合の点Qの軌跡を求めよ。
HINT (1) 複素数平面上の点の回転を利用する。
(2) P(p,g) として、点Pを通る接線の方程式を C2 の方程式に代入。
(3) (2) の結果と曲線 C1 C2 の関係に注目。
(1) 曲線 Cì 上の点 P(X, Y) を,原点の周りにだけ回転し
た点をQ(x,y) とすると, 複素数平面上の点の回転を考える
ことにより,次の等式が成り立つ。
回転
X+Yi-cos(-) +isin(-)(x+yi)...
①
X+Yi
x+yi
6
一回転
①から
2
X+Yi= √3−i (x+yi)=√3x+y+ −x+√3y;
yi
2
2

すべき、
ゆえに
よって
また
x=3x+y=-x+y
x=v3x+y, y=-x+v3y
2
2
2X=√3x+y, 2X=-x+√3y
3X2+2√3 XY+5Y2=24
③の両辺に4を掛けたものに②を代入して
3(√3x+y)/+2√3(√3x+y)(-x+√3y)+5(-x+√3y)=96
整理すると
8x2+24y2=96
y
に問い
「ある場合
2本できない
2√3
よって, 曲線 C2は楕円で,その方程式は
2
0
-2
x2
山
6
(2) P(p, g) とする。 曲線 C2 と x軸の交点のx座標は ±2√3
[1] キ±2√3 のとき,点P (p, g) を通る接線の方程式は
y=m(x-p)+α とおける。
検討 X,Y を x, y で表すには, 三角関数の加法定理を利用す
る方法も考えられる。
=1
12 4
-2√3
←本冊 p.250 重要例題
148 参照。
これを曲線 C2の方程式に代入して整理すると
(1+3m²)x2+6m(g-mp)x+3{(mp-g)-4}=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
D
={3m(g-mp)}-(1+3m²)・3{ (mp-q)-4}
←y軸に平行でない。
←C2 の方程式を
x2+3y2=12と変形した
ものに代入するとよい。
=3{-(mp-g)+12m²+4}
=3{(12-p2)m²+2pgm+4-q2}
D=0 とすると
(12-p2m²+2pgm+4-g2=0.
(4)
←p=±2√3から
12-p20
EX
このmの2次方程式 ④の2つの解を m1, m2 とすると,
題意を満たすための条件は
mim2=-1
←垂直
⇔ (傾きの積)=-1
102
4-92
2
ゆえに,解と係数の関係から
=-1
4-92
12-p²
←mm2=
12-p²
よって
[2]
p2+q2=16, p≠ ±2√3
=±2√3 のとき,直交する2本の接線はx=±2√3,
y=±2 (複号任意) の組で,その交点は
(2√3, 2), (2√3, -2), (-2√3, 2), (-2√3, -2)
これらは円が2+2=16上にある。
[1], [2] から, 求める軌跡は 円x2+y2=16
π
2
P
EOT
X
0
-2.
(3) 曲線 C2 は曲線C を原点の周りに だけ回転したものであ
-2√3
るから、求める軌跡は点Pの軌跡を,原点の周りに
πC
だけ
6
回転して得られる曲線である。
よって, 点Qの軌跡は 円x2+y=16
2√3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

赤い彗星

pが±2√3 のとき、自動的に q は±2 になるからです。