Question

くりぼー

(2)に対してなのですが、模範解答の指針とは別に、接戦を(a.b)と置き、その点における接戦として(a-1)(x-1)+(b-1)(x-1)=r^2、整理して、
(a-1)x+(b-1)y+(-a-5b-r^2+26)=0という式になって、
これが直線4x-3y+1=0と一致するから係数比較をして、r^2の値を出したら間違ってました。どこかで勘違いをしているのだろうけど分からないので教えて欲しいです。

基礎問
66 第3章 図形と式
41 円と接線
Q(1) 次の接線の方程式を求めよ.
(ア) (1,2) において,円x2+y2 = 5 に接する
(イ) (1,3) から円 '+y'=5に引いた接線
△ (2) 点 (15) を中心とし, 直線 4.x-3y+1=0 に接する円の方
程式を求めよ.
精講
(1) 次のような公式があります。
円x2+y2=2 上の点 (xo,yo) における接線は
xox+yoy=r²
たいへん便利なように見えますが, この公式を用いるときには「接点の座標」
がわかっていなければなりません. すなわち, (1) の(ア) と(イ)の違いがわかってい
るかどうかがポイントです .
解答
(12) 接点だから, x+2y=5
(イ)(解Ⅰ)
接点を (Z1, y1) とおくと,
mi2+y²=5... ①
このとき, 接線は+yy=5 とおけて
この直線上に点 (1,3) があるので,
1+3y1=5②
① ② より
(5-3y₁)²+y₁²=5
..10y²²-30y+20=0
∴.y=1,2
②より, y=1のとき m=2
i=2 のとき =-1
よって, 接線は2本あり,
∴. (y-1)(y-2)=0
<ポイント
2x+y=5 と x+2y=5
( 解ⅡI) (接点の座標をきいていないので・･････)
(13) を通る x²+y² = 5 の接線はy軸と平行ではないので (注
y-3=m(x-1), すなわち, mx-y-m+3=0 とおける.
この直線が2+y²=5 に接するので
=√5
|-m+3|
√m² +1
... | m-3|=√5(m²+1)
両辺を平方して,5m²+5=m²-6m+9
..
4m²+6m-4=0 .. (2m-1)(m+2)=0
=1/12-2
2'
よって,接線は2本あり,
5
y = -1/2 x +
m=
r=
演習問題 41
2
(2) 半径をrとおくと
|4-15+1|
√42+(-3)2
よって, 求める円の方程式は
(x-1)2+(y-5)2=4
ポイント
と y=-2x+5
注
タテ型 (y軸に平行) 直線の可能性があるとき, 傾きmを用いて
直線を表すことはできません.
-=2
140
40
(1,5)
ⅡI. 点と直線の距離の公式を使う
ⅢII. 判別式を使う
4x-3y+1=0
67
円の接線の求め方
I. 円 (x-a)+(y-b)2=r2 上の点 (x1, yì) におけ
る接線は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=r²
点 (42) から円r'+y2=10に引いた接線の方程式を求めよ.

円と接戦 図形と式

Answer 1

あ

ご自身の解答と比較してください。

くりぼー

ありがとうございます！k倍するところが少しよく分かりません😭😭

あ

例えば、8x-3y+2=0の式でも、約分すると4x-3y+1=0と同じになります。
つまり、接線の式が4x-3y+1=0の両辺をk倍した式である可能性があるということです。
今回は係数比較をするので、4や-3と断定することはできません。
一旦k倍して円の方程式に(a,b)を代入した式から、kの値を求めに行っています。

あ

8x-3y+2=0ではなく、8x-6y+2=0です。すみません…

くりぼー

自分なりに解釈し直すと、
グラフ上で同じ図形であっても、8x-6y+2=0と4x-3y+1=0のように、式で表される時は、式の係数は一致するとは限らない。そのため、今回の接戦の式も図形としては一致していても、係数が一致するとは限らないため、k倍した式が4x-3y+1=0と一致するとして考えないと、係数比較はすることが出来ない。
で合ってますか？？

あ

その通りです