Question

nanatu

369番の問題で、f'(x)＝0が異なる4つの実数解を持つとき、その前後でf'(x)の符号が変わると言えるのはなぜですか？
f'(x)=0があってもその前後で符号が変わらない4次関数のグラフもあるけれど、なぜこの問題では符号が変わると言い切れるのか疑問に思いました。

6
発展
ax
x2+1
つもつような定数aの値の範囲を求めよ。
369 関数 f(x)=2x+
が極大値と極小値をそれぞれ2つず
4

110
ゆえに
よって
[1], [2] から 求める α の値は
368 f'(x)=
サクシード数学III
D
4
1-2√a=-1
a=132364 O
g(x) =kx2-2x+kとおく。
kx0, (x2+1)^>0であるから, f'(x) の符号
とg(x) の符号は一致する。
Bac
よって, f(x) が極値をもつための必要十分条件
は、方程式 g(x)=0が実数解をもち,その解の
前後で g(x) の符号が変わることである。
[1] k=0のとき
g(x)=-2x
=
g(x)=0 とすると
x=0
g(x) の符号はx=0の前後で正から負に変わ
るから, f(x) は極値をもつ。
369 f'(x)=2+
kekx(x2+1)-ekx2x
(x2+1) 2
-(kx² - 2x fk)
eks
(x2+1)2
[2] k0 のとき
9(x)=0は2次方程式であるから, f(x) が極
値をもつための必要十分条件は,g(x)=0が異
なる2つの実数解をもつこと,すなわち
g(x)=0 の判別式をDとすると, D>0であ
ることである。
よって
k0 であるから
[1], [2] から, 求めるkの値の範囲は
-1<k<1
1-k² >0
=1-k2
x2=t とおくと土
f'(x)=0 とすると
a=1
a(x²+1)-ax. 2x
(x²+1)²
-1<k<0,0<x<1
2x¹-(a-4)x² +a+2@0> [I
(x2+1)2
2x4-(a-4)x² +a+2=00<D
a+2
2
Taa
2t2(a-4)t+α+2=0 ... ①
tの2次方程式 ① が異なる2つの正解をもつ
とき,f'(x)=0 は異なる4つの実数解をもち,
その解の前後で f'(x) の符号が変わり, 極大値
と極小値を2つずつもつ。
① の判別式を D とし,2つの解を α, β とする。
解と係数の関係から
a+B==
a-4
aß=
2
①が異なる2つの正解をもつための必要十分
D=(a-4)2-4・2(a+2)>0 ......
②
条件は
->0 ... 3
a+B="2
TYS
の3つが同時に成り立つことである。
②から
a(a-16)>0
よって
a<0, 16<a
a>4
③から
...... 6
④から
a>-2
7
⑤, ⑥, ⑦ の共通範囲を求めて
370 (1) y'=1--
(2) y':
aß=a+2
2
y'
x
+ y
...... 4
->0
4
(x+1)2
x=1
0<x<2でy'=0とすると
0≦x≦2におけるyの増減表は次のようになる。
1
0
2
x
0 +
(x+3)(x-1)
(x+1)2
よって, yはx=0で最大値 4,
-2x(x-2)
(x2-2x+2) 2
-1
4 3
y
45
...... 5
x2+2x-3
(x+1)2
...
I
2(x2-2x+2)-2(x-1)(2x-2) 20 [n
(x2-2x+2)2
A
1<x<3でy'=0とするとx=0,2 [g]
-1≦x≦3におけるyの増減表は次のようにな
る。
0
0
x=1で最小値3 をとる。
10
3
a> 16
+
2
0
-171\
よって, yはx=2で最大値1,
x=0で最小値-1
co/
3
4/5
をとる。
(3) y'=1-e-x
-2<x<1でy'=0とすると
x=007 1
ー2≦x≦1におけるyの増減表は次のようにな
る。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

こんばんは。

まず369の四角で囲んでいる部分をひとつずつ解読していきます。

「tの2次方程式①が～4つの実数解をもち」について
tの２次方程式の解を，例えばt＝3,7とである仮定します
そうした時t＝x²より x＝±√3 ±√7というふうになり xの解は4つになります。
今度はt＝-1,5であると仮定すると x＝±√5の2つだけになります(実数の範囲でx²＝-1を満たすものがないから)
よってtの2次方程式①が異なる2つの実数解(同じなら2つになるから)を持つことが必要十分ということです。

次に問題の「その解の前後でf'(x)の符号が変わり」について
f'(x)＝0のxにおける解とはy＝f'(x)という関数がy＝0で交わっている交点のx座標と等しいはずです。
これを適当な4次関数で考えると添付した1の図のようになります。
1の図を見ると解の前後で符号が変わっているのは明らかです。

今回は解を4つもつということがポイントです。
仮に3つだけとかなら，x軸に接しているだけなので添付した2の図のようになり
f'(x)＝0の解前後で符号が変わっていないことが分かります。

たまご

図を間違えました。こちらが正しい図です

nanatu

詳しくありがとうございます！わかりやすかったです！！

Answer 2

赤い彗星

蛇足になるかも知れませんが
これでどうでしょうか？

nanatu

ありがとうございます！！理解できました！いろんな質問答えてくださって助かってます🙇‍♀️