2019年度 数学解答
3
サイコロの目は整数であり、これをもつ2次方
程式の整数解を考えるのであるから、 解と係数の関係が使えそう｡
と考えられる。これらの関係をうまく利用することで、できるだ
である。 (1) は, (2)(3)の場合の、とくに1としたときになる｡
け手間を省くことも考えられるかもしれない。
(1) 2次方程式xbx+c=0が1つの整数解をもつとき、も
う1つのを!とおくと､ 解と係数の関係により (k.Iがサイ
解答
コロの目であることに注意して
k+1=b=1.2. .... 6)
kl=c (>0)
よっても整数であり,k,ℓはいずれも 1 2 3 4 5 のいずれかであ
より大きくなりがちだから短を軸に考える.
15k+156, 1≤kl≤65
(k. 7)=(1, 1), (1. 2). (1. 3), (1. 4), (1, 5).
(2. 2), (2, 3)
と、その入れかえも含めたものに限られ、このとき, (b,c)は
(b, c)=(2, 1), (3, 2). (4. 3), (5, 4), (6. 5).
(4.4). (5.6)
の通り。 (b,c) のすべての組は6通りあるので、求める確率は
7 7
62 36
(2) 2次方程式 ax²-bx+c=0が2つの整数解(重解も含む)m.nを
もつときを考える (a もサイコロの目であることに注意して
α=1なら, (1)により, (b,c)は7通りある。
2≦a≦6 なら、 解と係数の関係により
m+n=
b
a
C
tl
b 6
6 a
mn= (=====3)
6 a
*mn 3 aux mail nazse
になってmth=4で不適
(m, n)=(1, 1). (1, 2), (2.1)
名古屋大・文系前期
に限られ、このとき 2次方程式は
a(x-1)²-0. a(x-1)(x-2)=0
enen. (b. c)-(2a, a). (b, c)-(3a. 2a) 29, a. b. eft
イコロの目であることに注意して
(a,b,c)=(2,4.2),(3.6.3) (2.6.4)
の3通り。
以上から､求める確率は
7+35
2019年度)
6 108
(3) 2次方程式x-bx+c=0が1つの整数と整数でないをも
つときを考える。
α=1なら (1) から2解とも整数となり, (ju) の組は存在しない。
2sas なら、 解と係数の関係により
11b6
j+a= b
a
ja= (1 ≤ ≤ 6-3)
a
よって, >0であり
wj=1.2.
j=1のとき. a-b+c=0から (2)で得たものを除いて)
(a. b. c)=(2. 3. 1). (2. 5. 3), (3. 4, 1), (3, 5. 2).
(4. 5. 1). (4. 6. 2). (5. 6. 1)
の7通り。
j=2のとき, 4a2b+c=0から (2)で得たものを除いて)
(a,b,c)=(2.5.2)
の通り｡
以上から、 整数解と整数でない解を2%にもつ(c)は8通りある。
これに2解とも整数である場合の10通り (2)で求めた10通り)を合わせ
て 求める確率は
8+10 1
63 12
なるほど。理解できました。ありがとうございます！