Question

Hi（受験生）

249.
答えまでの道筋で0≦x≦1においてg(x)≧0のように
絶対値を考慮してこのような記述をしていますが、
0<x<1ではなく0≦x≦1である理由があまりピンと来ません。
t≦0とおいたときx=0のときg(x)=0となるから
という理由以外に0≦x≦1である理由は何かありますか？？

の分
5
|。
分割して
重要 例題 249 変数t を含む定積分の最大･最小
00000
f(t)=fx-txdx とする。 f(t) の最小値と最小値を与えるtの値を求めよ。
[ 類 名古屋大 ] 基本 248
12
指針 グラフをかいて, 定積分がどの部分の面
積を表すかを考えてみよう。
g(x)=x2-tx とすると,g(x)=0の解は
x=0tであるから, y=lg(x) | のグラフは
右図のようになり, f(t) は図の赤い部分の
面積を表す。 積分区間は 0≦x≦1で固定
されているため、変化する x=tの位置が
0≦x≦1の左外, 内部, 右外のいずれかで場合分けをする。
(日
解答
g(x)=x2-txc とする。 g(x)=0の解はx=0, t
[①] [1] t≦0 のとき 0≦x≦1では g(x)≧0
よって f(t)=g(x)dx=f'(x-x)dx
分は、 それぞ
った部分の面
[2] 0<t <1のとき
0≤x≤t l g(x) ≤0,
よって f(t)=_Sg(x)dx+f,g(x)dx
= - [ x ³² - ²/² x ²] + [ ³² - ²/2 x²] =
3
2
F (1) = 1² - 1/2 = (1 + √2²) (1 -√2)
のようになる。
したがって, f(t) は
t
2
t=
をとる。
1 t
2
f'(t)=0 とすると
t=±
0<t < 1 における増減表は右のようになる。
0≦x≦1では g(x) ≧0
2
のとき最小値
t≦x≦1では g(x)≧0
√√√2
2
[3]
のとき
t
よって (1) Sip(x)dx=(1/-/-/-/1/3
2
以上から, y=f(t) のグラフは,右の図
33
I
2-√2
6
t
2
y4
2-√2
6
t
2
O
1- (1
3
t≤0
+
6
1-3
10 1x
√√21
2
t
f' (t)
f(t) 0
t
[1]
0
y=g(x) |
[2]
-
[3]
0
0
Y_y=lg(x)/
◄ - ( ² 1/2 + ²)2 + (1 - 2/2 )
1
t>0
0
√2
2
0
t1
1 x
2-√2
6
x
+
7
YA
y=g(x) |
17.
1 t
1
7章
41
面
積

Answer 1

MathLove

積分区間は[0，1]つまり0≦x≦1なので端点での等号を述べないことの方が問題です。0から1で定積分してるので端点においても同じように絶対値が正で外せますよと記述している。仮に区間の端点で0未満になった場合、その点で絶対値は負で外すことになるので記述として正しい論理を展開していく上では0＜x＜1だけで議論することはあまり良くないと思います。