Question

mmm

（2）(4)
の解き方が全くわかりません。お願いします

2･17 x を実数,nを自然数とする. 次の問に答えよ.
(1) 1-2^x+..+(-1) n-12-2
の和を求めよ.
-1/2 + 1/3 - 11/17 + ··
3 5
とする. このとき, 等式
1
1
Sn=So 12 dz-(-1)" So 1+2 dz
-dx
201+x2
(2) S=1-
が成り立つことを示せ.
(3) 定積分 1 1
0
(5) lim S を求めよ.
7118
(4) 次の不等式を示せ .
x²n
os So 1+2²
.2
- + ··· + (−1)ª −¹ .—
-dx を求めよ.
=
-dx≦
1
2n-1
1
2n+1
(05 静岡大・理,情, 工後)
2･17
積分と極限
今までの総復習のような問題です. (5) は 「はさみう
ちの原理」を使います。
部
月 (1) 求める和は,初項 1,公比 -x2, 項数n
の等比数列の和であり, -x2≠1 であるから,
1-x²+x²-x6+...+(-1)n-1x2n-2
1-(-x2)”_1- (-1) nxin
1-(-x²)
1+x2
(2) ① を辺々をxで0から1まで積分すると、
S'' (1-x² + x¹-x³ + ... + (−1)n-1p²n-2) dx
= 1+ 2²
11-(-1)*xx2n
1
1
-
+
3 5
-
S
7
1
=S₁² =²²dx-(-1)" S. ².
T
1+x2
-dx
1
1+x²
+...+(
・+(-1)-1.
1+x2
よって,題意は示された.
(3) x=tan0 と置くと, dx=
1 x2n
-dx
:. Sn=
S₂ = ₁² ₁²d²-(-1)=√ 1²7 dz.
-dx=S₁
(4) 0≦x≦1のとき,
x²n
0≤- -S-
x²n
1+x² 1+0
=[**d-*
-=x²n
1
cos ²0
x2n
1+x2
よって,題意は成り立つ。
x²n
1+x2
1
2n-1
T
1
1
os f -dx≤₁x²³¹dx=-
-dx
1+tan 20 cos20
-d0 であるから,
-do
1
2n+1

(5) ②, ③ より,
lim Sn=
918
④より,
TC
4
1
im(-1) Sol
1
2n+1
x²n
201+x2
os | (-1)= √² 1²²2² dx = √² 17²7
x²n
S
-dx|
x²n
1+x2
1+x2
→0 (n→∞)
であるから, はさみうちの原理より,
1
lim (-1) Jo'x2"dx=0.
2118
10 1+x2
-dx......... ⑤
..
(5)
-dx
4
コメント 0≦x<1のとき,
1
1-x²+x¹-x6+...=-
1+x²
ですから, 辺々を0~1で積分すると,
1- +
1 1
- = - + - = √₁²₁ +²2² dx (= 4 )
=S
1+x2
3 5 7
が得られます.
ただし, ⑥はx=1では成り立ちませんし、
(S(-1)=-¹x²n-²dx)
n=
= S. (2₁ (-1)"-1p²n-2) dx
左辺は無
限級数
と,無限級数と積分 ∫ の順番を交換できるかどうか
が不明瞭です (一般に、無条件に成り立つ訳ではありま
せん)から、上の議論では心許ないのです.
本問ではこの2点を,
誤差=(-1) Soda
x2n
-dx
1+x2
の中に押し込めてしまうことで,回避しています (実際,
n→∞ のとき,誤差→0になっています)。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こたつみかん

Sn＝1-1/3+1/5-…を変形していって
積分の形にするのは難しいので、
Sn＝(xの積分)を解いていって1-1/3+1/5-…の形にします。ここで(1)が使えるぞ！と気づくかどうかは、誘導に乗れるかどうかです。

また(5)は、
(3)で定積分の計算をしておいて
(4)ではさみうちの原理を用いています。
わざわざ絶対値を取って極限を取るのは、
そうしないと(-1)^nが外せないからです。
(そのままだと振動してしまう)

今回は、(-1)^nの後ろのxの定積分が
(4)ではさみうちの原理を用いたことで
０に収束と分かります。
よって、lim(n→∞)| (-1)^n×(xの定積分)|＝０
となり、絶対値がゼロへ収束するなら、
その中身も同様にゼロに収束して良いよね！
という考えから、
lim(n→∞){(-1)^n×(xの定積分)}＝０
となっています。

mmm

丁寧な回答でわかりやすいです。
ありがとうございます😭😭

こたつみかん

あっ、ごめんなさい。
(4)書いてませんでしたね！
(5)だと勘違いしてました。
今から(4)かきます。🙇‍♂️

こたつみかん

遅れてすみません🙇‍♀️