Question

jpgamw

解答に線や矢印を引いたところについて質問です。
1本目の線⇒どうしてそのような式が成り立つのですか？
矢印⇒展開が分かりません。
2本目の線⇒任意の実数になぜなりますか？
多くてすみません🙇よろしくお願いします。

例題10 逆関数と合成関数
次の問いに答えよ。
□(1) 関数f(x)=px+q(カキ) について,f'(x)=f(x) となる条件を求
めよ。
□(2) 関数 f(x)=x+4
x+2
めよ。
考え方 f'(x)=f(x) のとき, f(f'(x))=xより,
解
f(f(x))=x
'(x)=f(x) のとき, f(f'(x)=x より, f(f(x))=x
(1) f(f(x))=f(px+q)=p(px+q)+g=px+p+g より,
(2) について, f(x)=f(x) となる条件を求
p²x+pq+q=x
これがxについての恒等式であるから,
p=1....... ①, pq+q=0.②
p = ±1
①より,
②に代入
よって,
(2) f(f(x))=
p=1のとき,g=0
して,
p = 1, g = 0 または p= -1, gは任意の実数
p.px +4 +4
++2
p=1のとき,gは任意の実数
x+2 _p(px+4)+4(x+2) _ (p²+4)x+4p+8
px +4
px+4+2(x+2)
(p+2)x+8
x+2
(p²+4)x+4p+8
(p+2)x+8
り,
分母を払って整理すると, (p²+4)x+4p+8=(p+2)x² +8x
これがxについての恒等式であるから,
・・・・･
0=p+2...... ①, p’+4=8 ②, 4p+8=0....③
①より,=-2 であり、これは②, ③を満たす。
よって, =-2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Hahha

1本目の線→写真参照

矢印→展開ではありません。
そもそもf(x)=px+q というのは
xというカタマリをfという関数の中に入れたらpx+qという値になって返ってくるということですので、
f(f(x))はfという関数の中にf(x)というカタマリを入れているだけです。
そのため、矢印の先にあるようにp(px+q)+qとpx+qがそのまま入った形になります。

2本目の線→p=-1を②に入れてみてください。
-q+q=0 となりqの値に関わらずいつでも式は成立することが分かります。よってqの値は何でもいいということです。

jpgamw

回答ありがとうございます。
1本目の線⇒ほんとですね。確かにそのようになりますね！
しかし逆数の定義で私は考えたら今写真のようになったのですがなぜ違うのですか？
よろしくお願いします。

矢印⇒f(x)のxにf(x)を入れたんですね。
勘違いしてました。よく考えてたら分かりました🙇助かりました！

2本目の線⇒p=-1を②に入れてみてください。
-q+q=0 となりqの値に関わらずいつでも式は成立することが分かります。

0=0になってしまうからダメなのかと思っていましたが、確かにどんな数を入れても成り立つという意味ですね！
理解しました☀️

また質問で申し訳ありません🙇
お時間あるときによろしくお願いします。

Hahha

その式も成り立ちます。
左辺のxについて解くと
x=f(f(x))となることもわかります。解答はこれを使っているようですね。
ただし、x=f(f(x))=f^(-1)(f^(-1)(x))は、
f^(-1)(x)=f(x)という条件がないと成り立ちません。それに対して、
x=f(f^(-1)(x))は、無条件で成り立ちます。
解答では、一般的に使える式を先に使っているという感じですね。

jpgamw

返信ありがとうございます。
書くの間違えていました。
なので書き直してみました！
とっても理解しました☀️
助かりました🙇
ありがとうございました。