Question

あおりんご

問題と答えです。
64の（3）（4）で、特に青線引いてあるところの仕組みがわかりません。教えてください！

□ 64 数列{an}の一般項を an =n(n-1) (n=1, 2, 3, ... とする。
① んが自然数のとき, ak+12-ak² をんの式で表せ。
14
(2) (1) の結果を利用して,等式k1n(n+1)を証明せよ。
k=1
n
3
(3)が自然数のとき, ak+1-ak をの式で表せ。
n
(4) knの式で表せ。
k=1

(3) an+1³-a³ = {(x+1)k}³ — {k(k − 1)}³
=k³(k+1)³-k³ (k-1)³
=k³{(k+1)³—(k-1)³} = k³(6k² + 2)
=6k5+2k3
1
(4) (3) * 5 *²= (a +²³-as) — 4²
(3)から
k5=
(ak+1)
ak
—
6
よって
n
1 n
3
2¹k³= 2 (an+1³ - ak ³) - 2 k²
Σk
6 k=1
k=1
k=1
n
It Σ(ak+1³ - ak3³) = (a₂³-a₁³)+(a3³ - a₂³)
k=1
ゆえに, ① (2) から
3
=
1
2k³ = n²³(n+1)³-
k5=
k=1
6
jeo
3
=an+1³-a₁³=an +1³
= n³ (n+1)³
......
3
++ (an+1³-a, ²)
3
-n³(n+1)³. na(n+1) 2
1/2 + 1/{n ² (n + 1) ²
1
12
1
= n²(n+1)²{2n(n+1)−1}
1
12
= 12m²(n+1)^(2m2+2n−1)