Question

りり

代数学です。
(1)(2)が全く分かりません、どなたかお願いします😭

① a-y平面上の線型変換の表現行列 A を次のように定める:
COS
(2) 次の等式をそれぞれ示せ:
sin
2T
72-1
Σ
k=0
77
2T
n
COS
2km
sin
(1) 原点Oを中心とする単位円を点 P1 (1, 0) から始めて 等分した点を P1, P2..... Pm とすると
き,次の等式が成り立つことを行列 A を用いて示せ:
OP₁ + OP₂+...
n
COS
2T
TX
2T
nは2以上の自然数。
=0.
+ OP₁ = 7.
Σsin
2KT
TL
=0.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

りり様
以下、「ベクトルx」を記号｛x｝で代替します。
(1)
t(1,0)=x とおく。　←t(　,　) は転置行列です
行列 A は原点を中心に 2π/n だけ回転する線型変換だから
　P1は　x
　P2は　Ax
　P3は　A²x
　…
　Pnは　Aⁿ⁻¹x
で表される。よって、
｛OP1｝+｛OP2｝+…+｛OPn｝
=x+Ax+A²x+…+Aⁿ⁻¹x
=(E+A+A²+…+Aⁿ⁻¹) x　…①
また、Aⁿ=Eであるから
Eⁿ-Aⁿ=O
∴(E-A)(E+A+A²+…+Aⁿ⁻¹)=O　…②
det(E-A)≠0であるから、②の両辺に左から(E-A)⁻¹をかけて
(E-A)⁻¹(E-A)(E+A+A²+…+Aⁿ⁻¹)=(E-A)⁻¹O
∴E+A+A²+…+Aⁿ⁻¹=O　…③
①③より
｛OP1｝+｛OP2｝+…+｛OPn｝=Ox=O　■
(2)
P1(cos0π，sin0π) , P2(cos2π/n,sin2π/n) , P3(cos4π/n,sin4π/n) , … , Pn(cos2(n-1)π/n,sin2(n-1)π/n) を
　上の結果に代入すると
　( Σ(k=0～n-1)cos2kπ/n , Σ(k=0～n-1)sin2kπ/n )=(0,0)
　∴Σ(k=0～n-1)cos2kπ/n=0 , Σ(k=0～n-1)sin2kπ/n=0　■
となります。

りり

ありがとうございます😭
大変助かりました！！