囲んだ部分の変形がわからないです。

数学

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

3ヶ月前

ひきわり

囲んだ部分の変形がわからないです。
どういう考えでこの変形ができるのか教えてください🙇

類題127 n次正方行列 A= 1 1 の固有値を求めよ。解答は p.257 1 (右下がり・左下がりの対角線上の成分のみ1, その他の成分はすべて 0 )

x= (x+2) ³g(x)+ ax+b ......( x=-2 を代入することにより、 -2a+b=(-2), ......① 次に(*) の両辺をxで微分すると, nx-¹=2(x+2) g(x) + (x+2) ³g'(x) + a ここにx=-2 を代入することにより, a=n(-2)"-1 ......② ①,②より, a=n(-2)^-1, b=(-n+1)(−2) x = (x2+4x+4)g(x)+ax+bより, A'=(A'+4A+4E)g (A) +aA+bE =n(-2)-¹(! =aA+bE ( A²+4A+4E=0) 1-3 -5, +(-x+1)(-2x (10) = (³37(-2)²-1 - (324272-2)-1) (3n-2) (-2)-1 類題12-7 余因子展開を利用して計算していく。 |A-tEl=D 1-t 0 0 : 0 1 =(1-t) 1-t ⠀ 1 1 0 +(-1)'+n =(1-t)^ B 0 1 1-t 0 1 ⠀ 1-t 0 1 1 ⠀ 1 0 1 =(1-t). (1-t) (-1)(n-1)+(n-1): +(-1)' + ". (-1)(n-1)+1 1 1 100-0… : 1-t 0 : 1-t 20 (n-1次) 1-t 1-t 1-t : 1 =(1-12D-2-D2=(12-21) D-2 (n R) 1 1 : 1-t 1 : 1-t (n-2次) 1 ⠀ 1-t ... ∴. Dm=t(t-2) D-2 D2m-1=(1-t){t(t-2)}"-' (D=1-t) =-(t-1)-(t-2)"-1 D2m=t(t-2){t(t-2)}"-1 (D2=t(t-2)) =tm (t-2)m =t(t-2) D-2 よって, よって次正方行列 A の固有値は, (i) n=1のとき 1 (ii) n=3,5,7, ･･･のときは0,1,2 (i)n=2,4, 6, ･･･のときは 0, 2 (例題12-7の計算の補足) 2-t 1 1 2-t ⠀ |A-tE|=| 1+(12]++77) =(n+1-t) ②-① 1-1 =(n+1-t) = (n+1-t) ⠀ |n+1-t 1 1 = 1 [n+1-t 1 n+1-t 2-t ... : N 1 : : 1 1 2-t 1 0 : 0 1-t : 0 =(n+1-t) (1-t)^-1 ... ".. 0 1-t 1 • 1 1 : 2-t 0 : 1-t 1 1 : ･･･ 2-t 1 1 : 2-t 1 (1) A-tEl = 0 1-t 1 0 : 1-tl 第12章章末問題解答 -t -1 1 57 0 -2 -2 3-t =-(t-1)^(t-2) 2 ... 固有値は1 (重解) (2)次に,固有ベクトルを求める。 (i) 固有値1(重解) に対する固有ベクトル A-1 E /-1 -11 0 0 0 -2 -2 2 ... x+y-z=0 11 -1 (!!!) 0 0 00 0

数学編入数学徹底研究

回答

✨ ベストアンサー ✨

Take

3ヶ月前

ひきわり様
Dn=t(t-2)Dn-2　…①　より
n=3: D3=t(t-2)D1　(1番)
n=4: D4=t(t-2)D2　(2番)
n=5: D5=t(t-2)D3　(3番)
n=6: D6=t(t-2)D4　(4番)
n=7: D7=t(t-2)D5　(5番)
…
n=2m-1: D2m-1=t(t-2)D2m-3　(2m-3番)
n=2m: D2m=t(t-2)D2m-2　(2m-2番)
まず、奇数番目の等式だけを並べると
n=3: D3=t(t-2)D1　(1番)
n=5: D5=t(t-2)D3　(3番)
n=7: D7=t(t-2)D5　(5番)
…
n=2m-1: D2m-1=t(t-2)D2m-3　(2m-3番)
このm-1個の等式の辺々を掛け合わせると両辺からD3,D5,D7,…,D2m-3が消えて
D2m-1=D1｛t(t-2)｝^(m-1)
が得られます。
同様にして、偶数番目の等式だけを並べると
n=4: D4=t(t-2)D2　(2番)
n=6: D6=t(t-2)D4　(4番)
…
n=2m: D2m=t(t-2)D2m-2　(2m-2番)
辺々を掛け合わせると
D2m=D2｛t(t-2)｝^(m-1)
となります。
【補足】
考えるポイントは「①の漸化式が等比型 An+1=r An ではあるが、
隣接2項間ではないので、丁寧にnに代入してみよう」です。