Question

い

この問題、平方完成的なことをしたあとにいきなり証明が完了しているのはなぜですか？
xとyが０より大きいと問題文に提示されていたら(正-正)²は正になるとわかり、後の式も符号がすべて正なので０以上ということがわかるから証明ができるのはわかりますが、xとyについての条件がなくてもこれは成立するのですか？

0
(2)* x¹+y¹≥x³y+xy³
LALI+A1J-AXY² + y ²
+ xy - x + y² = 0
( x − 4 ) ² + 3x^²y=6x²F²+ 3xy ³ > 0
x² - 4x²y + 6 x 8²-4 x 8 ³² + z 4
(x+y)+7] 6/²01408²_10
(²4+5+ 3x8 (1²−2+7+g³) 20
(x + y)² + 3x7 (x-1)² ≥ 0

アニメ
式を証明せよ。 また、等号が成り立つときを調べ
x² + y²) ≥(x³ +y³)²
xyryt x² + 2x²y³yb
-x²y¹ z 2x²y³
相加平均と
Jy² + xy ¹
x³y+xy³
xBryt
+3x²³4-67
2-4x8²³² + y
12
4プロセス数学Ⅱ
よって
等号が成り立つのは,
x¹+y¹zx² + xy²³)
x-y=0 または(x+2)+1=0
のときである。
x-y=0 より x=y
(x+2/22+3=0 より 12/2 = 0 かつy=0
2)²
すなわち
x=y=0
よって, x=y または x=y=0のとき,すなわ
ちx=y のとき, 等号が成り立つ。
(3) 左辺-右辺
=(x2+y2)-2(x+y-1)=x2-2x+y^-2y+2
=(x-1)2+(y-1)≧0
に解決してるの
よって
x2+y^≧2(x+y-1)
等号が成り立つのは, x-1=0 かつy-1 = 0,
すなわち x=y=1のときである。
(4) 左辺右辺
2
· a² + b ² + c ² _ (a+b+c) ²
=
3
a² + b² +c²
3
= = = (a ²
a²+ b²+c² + 2ab +2bc+2ca
9
(2a²+252+2c22ab-2bc-2ca)
2² - 2ab + b² +6²-2bc+c²
+c²-2ca+a²)
(a−b)² + (b-c)² + (c-a)²) 20
2-
よって @°+62+cz (a+b+c)^
b
3
3
等号が成り立つのは,
a-b = 0 かつ b c = 0 かつc-a=0,
すなわち a=b=cのときである。
39
よって
√ab >0,
>0であるから
等号が成り立つのは、ab=0
のときである。
(√ab)²( 2ab
a+b
別相加平均と相乗平均の大小関係
a+b≥2√ab
2ab
a+b
a+b>0, 2√ab >0535.
1
とって
a+b
2ab0であるから
参考
の逆数
2ab
したがって
a+b
等号が成り立つのは,a=b の
正の数 a b の逆数の相加
53
2
1 1
+
a tö
1
2√ab
均という。 一般に
2ab
a+b
√ab 2-
2ab
a+b
を
(相加平均)≧ (相乗平均)>
が成り立つ。 すなわち, a >
a+b = √ab 2. 2
1 1
+
a b
指針
不等式 ABCの証明
ASB かつ B≦C
|x|2=x2, 1y12=y2である
(x + y)²-(√√x² + y²)²
=(|x|2+2|x||3| +1312) - (x2.
=2|x|y|0

=2x-5.xy+6y2=2x2.
って
右辺=2(x2+3y^)-5xy
2.
5
xy+
+
y² = 2(x² = 5 xy) + 6y
ay 20. y=0であるから
23
2(x²+3y²)25xy
5
が成り立つのは,xー
-y=0 0 かつ
y = 0,
わち x=y=0のときである。なじゃないの
ab+b
23
両辺の平方の差を考えると
=√a +2√b² - (√9a+4b)²
2+12√ab +4b-9a-4b
√ab >0
a+b
2
+
(3√a +2√b²> (√9a + 4b )²
√60,9a +45 0 であるから
3√a +2√b>√9a + 4b
平方の差を考えると
= + b )² - ( √a + √b² ) ²
2
2
a+2√ab + b
4
√a+√b
2
=
(√a-√√6) ²
4
a+b
√ a + b )² = (√² + √5)²
2
2
20
>0であるから
√a+√b
2
9ab +
等号が成り立つのは、
1
ab 26
a>0, b>09ab--
すなわち b = 1/30 のときである。
(2) a+b>0. 1
相乗平均の大小関係により
a+b+
1
22.
1
+622
よって
a+b+
等号が成り立つのは,
1
>0であるから、相加平均と
a> 0, b>0 かつ a+b=
1
a+b
すなわち a+b=1のときである。
502ax+by)-(a+b)(x+y)
51 (1) 左辺–右辺
=2ax+2by-(ax+ay+bx+by)
=ax-ay+by-bx=(a-bx-y)
a < b, x<y であるから
したがって (a-bxx-y)>0
よって
2(ax+by)> (a+b)(x+y)
よって
等号が成り立つのは,
a-b<0, x-y<0
=(x+y^)(x2+y2)(x3+y3) 2
= x² + x³y² + x²y²+y6-(x6+2x³y³+y6)
=x2y2(x2+y2-2xy)=x2y2(x-y)^2≧0
(x² + y²)(x² + y²) ≥(x³+y³)²
xy = 0 または x-y=0,
すなわち x=0 または y=0 または x=y
のときである。
(2) 左辺右辺
==(x+y^-(x8y+xy^)=(x-y)x^3-(x-yya
=(x-y)(x-y°)=(x-y)(x2+xy+y2)
2
3
=(x-y)
(x - 30² ( x + 2/2 ) ² + ² x ² / 20
B問題, 応用問題
3集の公式+
元々ある(xy)を
かけたら2乗に
芋
なった!
+ネ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なじみ

たとえ正の数だろうが負の数だろうが2乗すれば正になります。例えば(-5)²=25とかね。
だから(x-y)²も正です。

い

xとyについて言及されていなくても、それ(二乗したら正になる)が常識の考え方だから(x-y)²は正になる、という捉え方で大丈夫でしょうか？

Answer 2

なじみ

そです！

い

ありがとうございます！！