まず、塩化ナトリウムの物質量を求めるときに塩化水素と水酸化ナトリウムの物質量を合計しているところが間違っています。
化学反応式から物質量を考えるときは、化学式についている係数(化学式の左についている数字)をみます。
今回の反応式の場合、塩化水素、水酸化ナトリウム、塩化ナトリウムの係数は全て1なので、「塩化水素1molと水酸化ナトリウム1molから塩化ナトリウムが1molできる」といえます。
したがって、この問題では塩化ナトリウムが0.2mol生成されていることから、水酸化ナトリウム、塩化水素がともに0.2mol反応したことが分かります。
また、塩酸1Lと水酸化ナトリウム水溶液0.5Lが完全に反応する前提で式を作っているところも間違っています。
この問題では塩酸50mLと水酸化ナトリウム水溶液37.5mLが完全に反応するので、塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の比は4:3になっています。
この比をもとに考えると、水酸化ナトリウム水溶液500mLに対し塩酸が約650mLで十分なので、塩酸が余ってしまいます。
よって、余ってしまう塩酸から考えるのは面倒なので、完全に反応した水酸化ナトリウム水溶液500mLが0.2molであるということからyを求めて、回答者さんの①式からxを求めることになると思います。