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まろん様
WがR²の部分空間であるための条件は
X∈W , Y∈W , k∈R であるとき
① X+Y∈W
② kX∈W
です。
(解答) 以下、スペース短縮のため、横ベクトルで表示します。
X=［x1 x2］, Y=［y1 y2］, k∈R とすれば、
X+Y=［x1+y1 x2+y2］, kX=［kx1 kx2］
(1)
X∈W1,Y∈W1より x1=2x2 , y1=2y2
このとき、
① x1+y1=2x2+2y2=2(x2+y2) ∴X+Y∈W1
② kx1=k(2x2)=2k(x2) ∴kX∈W1
よって、W1はR²の部分空間である。 ■
(2)
X=［1 0］∈W2 , Y=［2 1］∈W2 であるが、
X+Y=［3 1］∉W2
よって、W2はR²の部分空間ではない。 ■
(3)X∈W3,Y∈W3より x1=x2=0 , y1=y2=0
このとき、
① x1+y1=0 , x2+y2=0 ∴x1+y1=x2+y2=0 ∴X+Y∈W3
② kx1=0 , kx2=0 ∴kx1=kx2=0 ∴kX∈W3
よって、W3はR²の部分空間である。 ■
(4)
X=［1 0］∈W4 , Y=［0 -1］∈W4 であるが、 ← 1・0≧0 , 0・(-1)≧0 であるから
X+Y=［1 -1］∉W4
よって、W4はR²の部分空間ではない。 ■
となります。
ありがとうございます！（4）見落としていました！全ての回答を丁寧に教えてくださりありがとうございます！