三角形の成立条件
例題124
3辺の長さが3,4,xである三角形について,次の問いに答えよ.
xのとり得る値の範囲を求めよ.
(2)この三角形が鋭角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ.
につい3
考え方 (1) たとえば, 3辺の長さが3, 4,9では、
解答
Focus
x+3>4
x+4>3
& USH 9
三角形ができるためには, a+b> c が成り立つ必要がある.
(2) 鋭角三角形となるのは,最大の角が鋭角のときである.
最長となる辺の対角が最大となるので, 4とxを比較する.
(辺と角の大小関係は p.42
. 425 参照)
POS
(1) 3辺の長さが3,4,xの三角形が存在する条件は,
3+4>x
これより、1<x
(2)(i) 1<x<4 のとき,最大の角は長さが4の辺の対
角である. それをaとすると, α <90°となるため
には,
cos a=
x2+32-42
2.x3
cos B=
Aが直角
Aが鈍角
->0
x<-√7, √7<x
3242x2
2.3.4
よって, (i), (ii) より,
2 正弦定理
4
これより,
>> √7 <x<4 15
これと 1<x<4 より
(ii) 4≦x<7のとき, 最大の角は長さがxの辺の対
角である. それをβとすると, β <90°となるため
には,
これより,
-5<x<5
これと 4≦x<7 より,
x2+32-420
で三角形ができない.
->0. 32+4x²0
√7<x<5
LAST U
295305
4≦x<5
****
cos A=0b²+c²=a²
cos A<0b²+c²<a²
a
1=18
C
b
a,b,c を3辺の長
さとするなら a > 0,
が必要
>0c0
であるはずだが,こ
れらは,三角形の成
立条件の3つの式か
ら導かれる. (次ペ
レージの Column 参照)
最大角をみるために
は、 場合分けが必要
一般に
SEOULUHUSUS#
a+b>c
a,b,c を3辺の長さと
b+c>aa -bl<c<a+b
する三角形が成立する条件
E
c+a>b
Abcos A>0 ⇒ b²+c²>a²
Aが鋭角
⇒b²+c²a²
を用いてもよい.
(2)この三角形が鈍角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ.
Oo
WARE
練習
3辺の長さがx, x+1, x+2 である三角形について,次の問いに答えよ.
124 (1) とり得る値の範囲を求めよ.
***
第4章
→p.244 18
指定されていない辺とはxのことです💦