✨ ベストアンサー ✨
ひきわり様
(ⅰ)は正解です。また、(ⅰ)と(ⅱ)が一致しないのは、(ⅱ)の方が間違っているからです。
正しくは
(ⅱ) (与式)=lim(x→∞)x/(1/log｛1+(3/x)｝)
ですが、これにロピタルを用いても、かえって複雑になります。
ロピタル以外の方法ですが、
【方法１】3/x=tとおくとx→∞⇔t→+0f(x)=log(1+x)とおくと
lim(x→∞)xlog｛1+(3/x)｝
ひきわり様
新年おめでとうございます。
今回の２題についてはロピタルの定理を使って良いと思います。
使ってダメなのは、たとえば、
【例１】lim(x→0) (sinx)/x=1
を示すのに、ロピタルの定理を使うとおそらく零点です。
（発問者はロピタルの定理を期待していないから）
または、
【例２】lim(x→∞) x/√(x²+1)=1
は、ロピタル封じの問題で、ロピタルの定理からは証明できません。
「ロピタルの定理で求められるなら、ほかの方法はないか？」を
考えて、極力ロピタルは避ける、で良いと思います。
参考までにロピタルのフルネームは
「ジローム・フランソワ・アントワーヌ・マルキ・ド・ロピタル」
です。まずは名前を憶えてから使おう、といった感じでしょうか。
新年早々からありがとうございました！
新年早々失礼しました！うっかりEnterを押してしまいました。改めて
【方法１：微分の定義を用いる】
3/x=t とおくと x→∞ ⇔ t→+0
∴lim(x→∞)xlog｛1+(3/x)｝
=lim(t→+0)(3/t)log(1+t) …①
ここで、f(x)=log(1+x)とおくと
①=lim(t→+0)3＊｛f(t)-f(0)｝/(t-0)
=3＊f'(0)
=3＊1 ←f'(x)=1/(1+x) より f'(0)=1
=3 ■
【方法２：マクローリン展開を利用する】
xlog｛1+(3/x)｝=x｛(3/x)-(1/2)(3/x)²+(1/3)(3/x)³-…｝ ← x→∞ のとき、(3/x)→+0 より
=3-(1/2)(9/x)＋(1/3)(27/x²)-…
→3 (x→∞) ■
【方法３：lim(x→∞)｛1+(1/x)｝^x=e を使う】
xlog｛1+(3/x)｝=log｛1+(3/x)｝^x
=log｛(1+｛1/(x/3)｝)^(x/3)｝^3
→log(e^3)=3 (x→∞) ■
また、後半の極限は
xlog｛1+(3/x²)｝=x｛(3/x²)-(1/2)(3/x²)²+(1/3)(3/x²)³-…｝
=(3/x)-(1/2)(9/x³)＋(1/3)(27/x⁵)-…
→0 (x→∞) ■
です。