Question

α

数Iの絶対不等式の問題です。
(1)(2)の解き方を解説お願いします。

105 絶対不等式 [1], 不等式の解の存在
(1) すべての実数 x について, 2次不等式 x2+2kx-3k+4>0 が成り立
つような定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 2次不等式 xkx+k+3<0 を満たす実数xが存在するような定
数kの値の範囲を求めよ。
例題
[頻出]

絶対不等式 不等式の解の存在

Answer 1

ミッキー様

(1)左辺>0が常に成り立つということは、左辺の関数の最小値が正であればOKってことです。
x=-kの時、最小値は-k²-3k+4ですから、求める範囲は
-k²-3k+4>0
⇔k²+3k-4<0
⇔(k-1)(k+4)<0
⇔-4<k<1･･･(答)

<別解>
判別式D<0で考えてもOKです。
D/4=k²-(-3k+4)<0で不等式を解く過程は一緒です。

(2)は、最小値が負であればいいことを立式すればOKです。

α

ありがとうございます。
あの質問になるのですが、なぜx=-kのときを考えるのでしょうか。

ミッキー様

軸のところで最小値になるので、(1)だったら軸はx=-kです。だからそこで見てます