数学
高校生
(3)の質問です。
2200=〜(k≧5)までは分かりました。
そこからk=5を試せませんでした。どう試そうと思うのですか？
またk^3の位に注目して〜のところでは、例えばk=6のとき、5k^3は2200より小さくなると思うのですが、なぜこの不等式が成り立つのですか？
これらを踏まえて、解説してくださると幸いです。
第2問~第4問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第3問 (選択問題(配点20)
自然数Nを7進法で表すと3桁の数 abc (7) となり, 8進法で表すと3桁の数
cba(s) になるとする。
(1) このような自然数Nを求めよう。
a, b, c について
が成り立つ。
変形すると
アイla-b-
アイ
b=
a=
と
オ
ウエ
c=0
ウエ の最大公約数は
カキ a- クケ
となる。よって, 条件を満たす α, b,c は
b=
サ
である。
したがって,Nを10進法で表すと, N =
C=
オ
スセソ
であるから、この等式を
である。
(数学Ⅰ・数学A 第3問は次ページに続く。
(2) Nを5進法で表すと,
タチツテ
である。
(5)
(3) 10N を進法で表すと, 4230(k) となった。 このとき,
ト
k=
となる。
(4) 10Nの正の約数は全部でナニ個ある。
これらのうち, 2の倍数はヌネ 個, 4の倍数はノハ 個 8の倍数は
ヒ
1個ある。
したがって10N のすべての正の約数の積を2進法で表すと,末尾には 0 が連続
して フへ 個並ぶ。
LE
第3問 (1) abc (7)
は7進数, cbα (8) は 8進数であるから
1≤a≤6, 0≤b≤6, 1≤c≤6 0
条件から N=α7+6・7+c, N = c82+b8+α
49a+7b+c=64c+8b+a
すなわち
よって
アイ48a-bーウエ63c = 0
482･3 と 63=32･7 の最大公約数は *3であるから, この等式を変形すると
b=3 (カキ16αークケ21c ...... ②
b=0, 3, 6
よって,bは3の倍数であるから,①より
[1] 6=0 のとき, ② から
16a=21c
1621は互いに素であるから, αは21の倍数であるが, 1≦a≦6 の範囲に
21の倍数は存在しない。
16a=21c+1
[2] 63 のとき, ② から
16g は偶数であるから, 21c+1 も偶数であり, cは奇数である。
よって, ① から
c=1,3,5
c=1のとき、 16a=22 であるが,これを満たす自然数αは存在しない。
c=3のとき, 16a=64 から
a=4
c=5のとき, 16α=106 であるが,これを満たす自然数αは存在しない。
[3] b=6のとき, ② から
16a=21c+2
すなわち 21c=2(8α-1)
2 ( 8α-1) は偶数であるから, 21cも偶数であり,cは偶数である。
よって, ① から
c=2, 4, 6
c=2 のとき, 16a=44 であるが,これを満たす自然数 α は存在しない。
c=4 のとき, 16α=86 であるが,これを満たす自然数 α は存在しない。
c=6のとき, 16α = 128 から a=8 これは ①を満たさない。
以上から a=³4, b="3, c=³3
したがって N=49.4+7･3+3=スセソ 220
(2) 右の割り算から N =タチツテ 1340(5)
(3) 10N=2200 をk進法で表すと 4230 (火) となるから
2200=4・k+2・k'+3・k+0 (≧5)
k≥6
k=5のとき等式は成り立たないから
の位に着目すると 4k³ <2200<5k³
よって
440 <<550
7°= 343, 8°= 512, 93729 であるから, 440 <<550 を満たす自然数は
5)220
5) 44 ...
0
5)
8･･・ 4
5)
1…3
0･･･ 1
k=8
2200 を8進法で表すと, 確かに 4230 (8) となるから k = ¹8
(4) 10.N=2200=2・52・11 であるから, 10Nの正の約数は全部で
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2= = 24 (個)
これらのうち,2の倍数は素因数を1個以上含むものであり, その個数は
2･52・11の正の約数の個数と等しいから
(2+1)(2+1)(1+1)=3・3・2=ス*18 (個)
4の倍数は素因数2を2個以上含むものであり,その個数は2･5・11の正の約
数の個数と等しいから (1+1)(2+1)(1+1)=2・3・2=ノ 12 (個)
8の倍数は素因数2を3個含むものであり,その個数は52.11の正の約数の個
数と等しいから (2+1)(1+1)=3.26(個)
また、10N のすべての正の約数の積M を2進法で表したとき, 末尾に連続し
並ぶの個数は,Mを素因数分解したときの素因数2の個数と等しい。
10N の正の約数のうち、2の倍数は18個 4の倍数は12個,8の倍数は6個,
16の倍数はないから 求める個数は
18+12+6= 7 36 (個)
(参考) JON のすべての正の約数の積M を求めると (※)
M=23・3・22･3・2+3・2.54･2・24・2.114･3= 236.524.1112
-6-
10→8
2200 (10) = 4230 (8)
8)2200
82
82
8
▶ Point
(参考)
空所補充型の共通テストにおいて
は,次のように考えてもよい｡
[2] b=3のとき, ② から
16α-21c=1
a=4, c=3 はこの1次不定方程
式を満たし, ① も満たす。
[3] 6=6のとき, ② から
16a-21c=2
[2] で得られた α, cをそれぞれ
2倍した α=8, c=6 はこの1次
不定方程式を満たすが, ① を満た
さない。
→10
169-21C=1
- 16.4-21:3=1
16(-4)+21(C-3)=0
◄8) 2200
OA
3
"2
5k以上になると, k進法で表し
たときのの位が4にならない。
8) 275.0
8) 34...3
8)
4･・･2
0….. 4
※5の倍数の個数は
(3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2
25の倍数の個数は
(3+1)(1+1)=4･2
11の倍数の個数は
(3+1)(2+1)=4・3
である。
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