Question

ますっぺ

この問題の（4）（5）で何故解説の図ｃ、図dが示すようなa,bの長さが分かるのですか？
教えて頂けると嬉しいです

32. 〈ゴムひもに取りつけられた物体の運動〉
水平な台の上に質量mの物体Aを置き,
図のように自然の長さのゴムひもBを取り
つけた。 ゴムひもの右の端を持って水平方向
にゆっくりと引くと,ゴムひもが自然の長さ
からαだけ伸びたときに物体が動き始めた。
その瞬間にゴムひもを引くのをやめたところ,
物体ははじめの位置からだけ移動して止まった。 台と物体の間の静止摩擦係数をμ, 動摩
擦係数をμ',ゴムひもが自然の長さからy伸びたときの弾性力は,kを比例定数としてky
とする。 重力加速度の大きさをg とする。 また, μμ' とする。
(1) 物体が動き始めたときのゴムひもの伸びα とμの関係を示せ。
(2) ゴムひもが1+αの長さに伸びたときにゴムひもに蓄えられている弾性エネルギーを求
めよ。
(3) 物体が止まるまでに摩擦力がした仕事を求めよ。
(4) 物体が止まったとき, ゴムひもがたるんでいたとする。 μとμ'の間にはどのような関係
があるか, a b を含まない不等式で示せ。
(5) 物体が止まったとき, ゴムひもが自然の長さよりも伸びていたとする。 このとき ゴムひ
もにはエネルギーが蓄えられていることに注意して、移動距離6をm,g, k, μ, μ'′ を使
って表せ。
〔学習院大〕
A
m
x = 0
B
金沢大」
x=l

これが失わ
セント 32 〈ゴムひもに取りつけられた物体の運動〉
(3) 『仕事を求めよ』仕事には正負がある
(1) 『動き始めた』 最大摩擦力
(4) 「ゴムひもがたるんでいた』 弾性力は0. 弾性エネルギーも 0
(5) 力学的エネルギーと物体がされた仕事の関係を考える。
(1) 物体が動き始めるとき, 物体にはたらく摩擦力は最大摩擦力 「μN」となっ
ている (図a)。鉛直方向の力のつりあいより, 垂直抗力の大きさを N とす
ると N=mg であるから, 最大摩擦力はμN=μmg
このとき, 水平方向の力のつりあいより
μN = ka
よって a=! μmg_
....11
k
(2) ゴムひもが伸びているときの弾性力はばねと同じフックの法則にしたがう
から,このときの弾性エネルギーUはU = 1/12/ka
300
物理 生
-ka²*A-
N -Ita-
Nmg
ka
A ゴムひもは縮むこと
なくたるむから,ゴムひもは
伸びているときだけ弾性エネ
ルギーをもつ。
(3)
(4)
(5

(3)物体が動きだした後,物体にはたらく動摩擦力の大きさは「μ'N」より
μ'N=μ'mg
動摩擦力の向きと移動の向きは逆向きだから、負の仕事となる。 物体は止ま
るまでに6だけ移動したから, 摩擦力のした仕事は「W=Fx」より
W=-μ'mgb
(4) 物体が止まったときゴムひもはたるんでいるので, 弾性力は0,弾性エネル
ギーも0となっている。 「はじめの力学的エネルギー+物体がされた仕事=
おわりの力学的エネルギー」 より※B
{0+0+1/2/ka²}+{-μ'mgb)={0+0+0}#C←
よって 12/23ka²=μ'mgb
図bより,ゴムひもがたるんでいるから 6a でなければならない。
½-ka²=µ'mgb>µ'mga*D←
よって ka >2μ'mg
①式より, ka=μmgD であるから μmg >2μ'mg
ゆえに μ>2ge'
(5) 物体が止まったときのゴムひもの伸びは図c より, a-bである。
「はじめ+ 仕事 = おわり｣ の仕事とエネルギーの関係より
{0+0+½_ka²}+{−µ²mgb}={0+0+ 1/{k(a−b)²]} *E*
2
EXE
整理をしていくと 1/21kl²(a-b)2}=μ'mgb
k(2a-b)=μ'mg よって b=2a-
①式を代入してb=2.Hmg2μ'mg_2(μ-μ′)mg
k
k
k
2μ'mg
k
■※B 力学的エネルギー
=1/12m+mgh+1/23kx2
■※C 別解 弾性エネルギー
の変化は摩擦力によって物体
がされた仕事に等しいから
0-ka²=-u'mgb
T4
b
図 b
■Dα, 6 を含まない不
等式で示すための工夫。
a-
図C
←E 別解 物体が動き始め
てから止まるまでの弾性エネ
ルギーの変化は,動摩擦力が
した仕事に等しいから
k(a−b)²--/ka²
=-μ'mgb