あたぴょん様
御推察のとおり、cosx を変換します。
tan(x/2)=t とおくと dx=(2/(1+t²))dt …①
また、
cosx=cos2・(x/2) ←２倍角の公式を使うために２でくくる
=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos²(x/2)+sin²(x/2)) ←分母は cos²θ+sin²θ=1
=(1-t²)/(1+t²) …② ←上式の分子・分母を÷cos²(x/2)する
この①②は結果として暗記しておくと便利です。
0≦x≦π/2 ⇔ 0≦t≦1 であるから、0から1までの定積分を行って
（与式）=∫(1/(4+5・｛(1-t²)/(1+t²)｝))・(2/(1+t²))dt （∵①②）
=∫(2/(9-t²))dt
=(1/3)∫｛(1/(3-t))+(1/(3+t))｝dt ←BBB（部分分数分解）
=(1/3)［-log(3-t)+log(3+t)］
=(1/3)［log((3+t)/(3-t))］
=(1/3)log2. ■
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