Question

Nちゃん

解答1の四角で囲んだ部分についてなのですが、なぜnは4以上の時になるのですか？
どなたかお願いします🙏

考え方
296 漸化式 an+1=f(n)・an
=1,(n+3)an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 αn を求めよ.
解答1 漸化式は an+1=
4
an+1=f(n)an となる.
ここで,
これをくり返すと,
解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan
DOD bn=(n+2)(n+1) nan とおくと, この式はbn+1=0となる.
解答1 漸化式を変形して,
このとき
an=
n
n+gan と変形できて,f(n)=+3 とおくと,
An+1=f(n)an=f(n){ƒ(n−1)an_1}=ƒ(n)ƒ(n − 1){ƒ(n−2)an-2}
an+1=f(n)f(n-1) f(n-2)......f(1)a1
az=
よって,
an+1=
n+2n+1
3
1
1+3a1²
n
n+3a
50=1/11
2
a3=
2+3 92=
4 のとき, ① をくり返し用いると,
n-1.n-2.n-3.n-4
-an
2
2+3 1+391 10
2
··1=
n+2n+1n
この式はn=1,2,3のときも成り立つ.
よって, an=
・①
4321
n_n-1 F7654
6
n(n+1)(n+2)
n(n+1)(n+2)
SOURON
解答2 漸化式の両辺に(n+2) (n+1)を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)
ここで,b=(1+2)(1+1) 16 より 16
bn=(n+2)(n+1) nan であるから,
(n+2)(n+1)nan=6
-a
an
I
and
***
n-1
n+2
a₁=1
n-1n-2
n+2n+1
-an-1
nan
REAVES (1)
x(n+1) an+1
bn=(n+2)(n+1) nan とおくと, ② は bn+1=bn となり, =(n+2)(n+1)nan
これはすべての自然数nに対して成り立つ.
したがって,
bn=bn-1=bn-2=......=b1
a=1
(n+3)(n+2)
-an-2
6
an=n(n+1)(n+2) Testo At
**R*12*10
(282,4)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

試して確かめてみましょう。
この回答の議論においては、とにかくanについて一般化をしたいというモチベーションで議論を行っています。
本当であれば例外は少なければ少ない方がいいですし、n≧3のとき、とかn≧2のとき、とか書きたいんです。今回に関しては、n≧4において分母がn(n+1)(n+2)という3項、分子が6になるという一般性を見出すのですが、式を見てもらえば分かると思うんですけど、分子分母ともに2項しかありませんよね？ということで、n≧4で成立するような一般性の仲間には入れてあげることが出来ないのです。もちろん、分子分母に3をかければ成立するじゃないか、と思うかもしれませんが、それは我々解答者の恣意的な操作や思い込みであり、問題設定から明らかになるものではないのです。2/5や1/4という値はn/(n+3)由来ですが、3/3とかいう値はどこから来たんですか？となってしまいます。
こんな風な事情から、例外については後で考える、というのが数学の記述でのセオリーとなります。今回の問題ではたまたまn=1,2,3についてもn≧4で考えたような一般性が成り立ちましたが、勿論そうでない問題もあるのです。

Nちゃん

nが1から3の時には分母の項数が一般項と一致しないため分けて考えて、かとから成り立つかどうか考えるということですか？？

あ

その通りです。