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xの次数が5以上の項が存在するf(x)を考えてみましょう。すると、f(1/x)にはxの次数が-5以下の項が存在しますよね。ということは、これにx⁴をかけても、xの次数が-1以下の項が存在することになりますが、そのような式は多項式とは言えないのです。
この時点ではまだ次数を決定する段階なので、係数に関しての議論はなされていません。an,an-1……のように表記しているのは、あくまでf(x)を式として書くためのもので、これらは任意の実数が入りうる文字になります(an=0だとn次式ではなくn-1次式になってしまうためan≠0という条件だけついています)。
また、定数項が出てこないということはxの0次の項の係数が0とみなせますよね。先述の通り、現時点では係数はどのような数でもよいので、定数項が出てこなくても構わないのです。
「定数項が出てこないということはxの0次の項の係数が0とみなせる」とはどういうことでしょうか？n＝3の場合、係数がどんな数でもxの次数はx,x²,x³と増えていき定数項が出てこないからダメなんじゃないんですか？
an/xというのが式の中に入っていたら多項式とは言えないということでしょうか？
言葉が足りませんでした、、、
まず、今なぜ方程式の最高次の範囲を絞っているかというと、f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e のように、係数を文字で置いてから等式に代入し、各係数(a,b,c,d,e)に関する等式条件を得ることでf(x)を決定しようとしているからです。もしf(x)の最高次が分からなければ、各項のxの次数は際限なく大きくなり得るので、解くのがめちゃくちゃ大変になってしまいます。
と、いうようなモチベーションからこの議論をしていることをまずご理解ください。
ということで、次数を決定する議論から答案が始まります。以下、大前提として最高次がnであるとき、xのn乗の係数は0でないことを把握してください(例えば、f(x)=0x²+3x+2はもはや一次関数だよね、という話です。)
>> n＝3の場合、係数がどんな数でもxの次数はx,x²,x³と増えていき定数項が出てこないからダメなんじゃないんですか？
▶︎n=3の場合を考えてみましょう。
f(x)=αx³+βx²+γx+δ とすると、
x⁴f(1/x)=δx⁴+γx³+βx²+αxになりますね。
n=3ということは、最高次が3、つまりx³の係数が0でなければそれ以下(x²,x,定数項)の係数は何でもよいのです。
今、f(x)=x⁴f(1/x)という等式条件が与えられていますが、f(x)の最高次は3なので、x⁴f(1/x)の4次の係数が0でない限りはこの等式を満たせませんね。ということで、δ=0の場合を考えてみましょう。δ=0でもf(x)の最高次は3のまま保存されます。
と、いうことは、f(x)の最高次が3であるという状況はある程度存在しうるのです。これは、n=0,1,2,3,4の場合全てについて同じように示されます。
次に、n=5の場合について考えてみましょう。同様、
f(x)=αx⁵+βx⁴+γx³+δx²+εx+ζ とすると、
x⁴f(1/x)=ζx⁴+εx³+δx²+γx+β+α(1/x) となります。
ここで、質問主様が仰るように、1/6xの項が含まれる式は多項式とは呼べません。よって、αを0にするしかx⁴f(1/x)即ちf(x)を多項式にする方法はありません。そこで、アルファベット=0を代入してみましょう。すると、f(x)の5次の係数が0になってしまいます。これでは、f(x)の最高次は5ではなく4になってしまい、前提を外れてしまいます。よってf(x)の最高次が5になることはないのです。
同じことが5以上の全ての数について言えます。
解答ではこのことを当然の事として数行でまとめています。かなりの長文になってしまい申し訳ありません。また質問等あればどうぞ。
訂正:n=5の議論中
誤)1/6xの項 正)1/xの項
誤)アルファベット=0 正)α=0
なるほど！簡単に言ってしまえば、n≧5の場合an/x^nｰ4がan/xの何乗 になってしまって多項式が成り立たなくなるので、n≦4で、それ以外は今回は係数が任意なので深く考えなくていいということで合っていますか？
f(x)の次数を決める段階ではそういうことになります！あくまでf(x)を文字で置けるようにするための議論なので、もし条件を満たすような4次関数が最終的に存在しなかったとしても、とりあえず「最高次が4次以下」という絞り込みが出来るということがデカいんですよね
そのパートが終わり次第、「次数が絞れたから次は係数を決めていこう！」というモチベーションで解き進めて行くことになります！
理解出来ました！！丁寧に教えて頂き、ありがとうございます！！m(_ _)m
マーカー部分で、xの前の係数はどんな数でもいいんですよね？なのになぜan、anー1、anー2、…、a1、a0となって
いるんですか？
あと、nが仮に3だとしたら、青マーカーの部分がanx+anー1x²+anー2x³…となって、定数項が出てこないんじゃないんですか？