Question

kaaa〰︎✍🏻💭

（3）がよくわかりません

3
2つの2次関数f(x)=-x2+ax-a-8. g(x)=2x” があり, f(x) の最大値は0である。
ただし,αは負の定数とする。
(1) α の値を求めよ。
Wir Cuffl
PIRHE
S
TOOLS
(2) tを定数とする。 t-3≦x≦t+3 におけるf(x) の最大値をMとし, t-3≦x≦t+3 に
おける g(x) の最小値をm とする。M=m=0 となるようなもの値の範囲を求めよ。
(3) tを定数とする。 t-3≦x≦t+3 における f(x) の最小値をnとし、 t-3≦x≦t+3 に
おける g(x) の最大値をNとする。 N-n=48 となるようなもの値を求めよ。 (配点20)

(1) 5点 (2) 6点 (3) 9点
解答
(1)
(2)
___ƒ(x) =−x²+ax¬a−8
=−(x−2)²+ªª −a−8
f(x)はx=12/2のとき最大値21-4-8 をとる。これが0であるから
a²
4
--a-8=0
a²-4a-32=0
(a+4) (a-8)=0
a=-4, 8
1a<0&h_a=-4
完答への
道のり
(1) より f(x)=-x2-4x-4=-(x+2) 2
f(x)はx=-2のとき最大値0をとり､
g(x)はx=0のとき最小値0をとるから,
M=m=0 となるのは、定義域t-3xlt+3
にx=-2 および x = 0 を含む場合である。
したがって
t-3≦-2 かつ 0 ≦t+3
t≦1 かつ -3≦t
Stor
E
よって -3≦t≦
A f(x) を平方完成することができた。
B 最大値が0であることから, a についての2次方程式を立てることができた。
© α についての2次方程式を解くことができた。
答えを求めることができた。
t-3
y = f(x)
- 30-
-2
YA
a=-4
0
y = g(x)
it+3 x
は負の定数であることに注意
-3≤t≤1
する｡
まずは定義域を実数全体で考えて
みる。
2<0であるから、この2式が
成り立てばよい。

D
A
完答への
道のり
(3)
(i)
M=0 をとるxの値、m=0をとるxの値を求めることができた。
③ 定義域内にx=-2 および x=0を含む場合であることに気づくことができた。
© についての2つの不等式を立てることができた。
① 答えを求めることができた。
t <-2のとき
g(x)はx=t-3のとき最大となるから
Za
N=2 (t-3)2
f(x)はx=t-3のとき最小となるから
n=-(t-1)2
N-n=48 のとき
2 (t-3)+(t-1)^=48
3t²-14t-29-0
これを解くと
Fot=
7±√136
3
これらは t<-2 を満たさないから不適。 t-3
(ii) -2 ≤t≤ 0
g(x)はx=t-3のとき最大となるから
N=2(t-3)2
f(x) は x=t+3 のとき最小となるから
n = -(t+5)²
N-n=48 のとき
2(t-3)+(t+5)^=48
3t²-2t-50
(t+1) (3t-5)=0
5
t=-1,
3
-2≤t≤0 & t= -1
( 0 <t のとき
g(x)はx=t+3 のとき最大となるから
N=2(t+3) 2
f(x)はx=t+3 のとき最小となるから
n=-(t+5)2
N-n=48 のとき
2(t+3)²+(t+5)² = 48
3t² +22t-5=0
これを解くと
1 t=-
0<t より
(==11/136-11+2/34
-11±√136
11±2√34
t=-1+2,34
3
3
y=f(x)
-20
y=f(x)
t-31
y=f(x)
31
yA
-2
N
YA
y=g(x)
t+3
N
NO
YA
N
y=g(x)
0
1000
it+3 x
グラフの軸が定義域の中央より左
にあるか右にあるかで場合分けをし
て調べる。 本間では、定義域の中央
はx=t である。 nの場合分けを
y=f(x)のグラフの軸x=-2 と
x=tの位置関係で, Nの場合分け
を y=g(x)のグラフの軸x=0 と
x=tの位置関係で行うため, (i)~
(m) の場合分けで調べる。
t+3.
> 0, また、
7+√136
3
√13614412 であるから
y=g(x)
and
3
13
7-12-2
3
136121=11であるから
-11+√136
3
> 0

二次関数