Question

ぴひょ

図形の性質
記述問題として大丈夫な回答かどうか、
という事と(4)がどうすれば適切な答えになるのかということを教えていただきたいです。
相加・相乗平均を使う前の変形が上手く行きませんでした。解答例(2枚目)はどのようにやっているのか解説して欲しいです。お願いします。

図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、
2
辺AD上に点Pをとり,線分 AP の長さをとする。 このとき､
線分 AG と線分 FP は四角形 ADGF 上で交わる。 その交点をXとする。
(1) 線分 AX の長さをかを用いて表せ。
(2) 三角形 APX の面積をかを用いて表せ。
(3) 四面体 ABPX と四面体 EFGX の体積の和を Vとする。Vをかを用
いて表せ。
(4) 点Pを辺AD上で動かすとき,Vの最小値を求めよ。
A
B
F
IX
E
C
G
P
D
H

めた面があるため、それらを底面とみて、対応する高さを求めま
(1) AP/FGから
よって
相似比は, AP: GF=p:1である。このとき
AX: XG=p: 1
AX: AG=AX: (AX+XG)=p: (p+1)
AAPX AGFX
また、AG=1'+P+1°=√3であるから
......(答)
p+1
(2) APX △GFX において, それぞれ
AP. GF を底辺とみたときの高さを,
とする(右図)。
(1)と同様に相似比を考えて
hp:1
h₂: (h₁+h₂)=p: (p+1)
また、h+h²=AF=√12+12=√2 である
から
か
AX=pfyAG3
(3) (2)から
-(h₂+h₂)=-
p+1
√2 p
p+1
AAPX=-
X = 1·AP·₁-12 ·
h₂ √2
か p+1
√2 p
p+1
B
F
1-
√2
√2
√2D²
2(p+1)
名古屋大・文系
√√2
AGEX FGM-112(+1)
A
FE
/h₂
・DP
hi
IX
C
G
D
H
S
ここで, AF とBE の交点を Y とおくと. BELAF, BELAD から
BE ⊥ (平面 ADGF)
よって 四面体 ABPX と四面体 EFGX でそれぞれの底面を△APX.
AGFX とみだときの高さは BY. EY で
-BE=√1¹+1²
BY = EY=.
ゆえに、四面体 ABPX. 四面体 EFGXの
として
√2 p²
2(p+1) 2
=-262
1 ・△APX BY +
3
......(答)
3
2
p+1
B
+1/13 AGFX・EY
1
√2
√2
32(+1) 2
D² +1
-6 (p+1)
(40psの範囲で考える (P=Aのとき=0 とする)。
v=1. p² + 1 = 1/² (b −1+ ²₁)
6 p+1
6
p+1
- 1 ² (p+1+0 ² ²₁-2)
<解説>
E
G
P
8形き合わせる
D
H
より 相加
2 1/2 √ (0+1)-²-2) (P+1>07>025)
平均相乗平均の関係を用いた
ADFG
国APTOから
社を考える!
⇒ (p+1)^=2と0≦p≦1より.p=-1の
等号成立は+1=
ときである。
したがって、Vap=√2-1のとき、最小値をとる。……(答)
<空間図形 面積と体積. 相加平均 相乗平均の関係>
四面体 ABPX, 四面体 EFGX の体積を考えるとき、それぞれ、
△APX △GFX を底面とみて 高さ BY, EY を求める方法をとった
(ここでは AF と BE の交点)

3
Appl
P
P+1
(1) A APX ∞ AGXF2"
ある。(立方体よりAD
FG PAX FGx,
また対角よりムPXA:16
1834, AX=
P
PI
AG
AGは立方体の対角線である。
AC = √2+₁ AG - √52P + 1² = √5
Ax=
B
AAPX AGXF=P: / 8
√IP
PTI
Jesen 176 / 1917 to 2pilling
AF = AC = √2 435 AFP1=212
A6は<FAを二等分する。すると
AP AFPX = XF = P = √3 = P = /
F
AAPF = Px√2 × 5 = 5 P
4?
AA*PX=
6
P
P+T 5 P
p+i
√2pz
(3) ABPX =ABPxJX 2(PTV)
(メから平面ABCDに引いた余算の足をとする
#EFOX AFFB x Kx
(x 027 FEGHIB1111=180²2 kris
平面ABCPと平行でメを通る平面をめとし、
"EFGH²
KAEとの交点をLとする。LはDHを
P.1に内分する。(平面ABCD、EFGHのが
P
P+(
□平行より)するとJX=
1x = 241 ²1
P+1^²= P+1,
pt
AFFG-5-1-1-5
(4)
· A ABP = {/2·1·P=²5/1
P
✓ = (+£. 7) + ( + = + =) - (²)
V
x
0SP²2 12732 kp1152
1 P't! . {
V=
PT I
+ m
p²-2p+1 +2p
61 P1³
p11.
PP
=
= {{{p() + 2/²} 2 ² √ 2 p = fo
(相加平均と相乗平均の大小関係より。
1,35 pl =
p₁1 224 p=0
art, (05p²1)
従ってレはp=0のとき最小値をとる

図形の性質 式と証明