Question

もも

序盤で出てきたk＝2とα＝2を答えとしてはいけないのはなぜですか？

解答
672
重要 例題 102 2次方程式の共通解
2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解
つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることが
指針
たら、その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。
し、この例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法
が一般的である。
2つの方程式の共通解を x =α とおいて,それぞれの方程式に代入すると
①, a²+a+k=0...... ②
2a²+ka+4=0
これをαk についての連立方程式とみて解く。
② から導かれる k=-α²→α を ① に代入 (kを消去) してもよいが, 3次方程式と
なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるα2の項を消去す
ることを考える。 なお, 共通の 「実数解」 という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解をx=α とおく
共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
①, a²+a+k=0
2a²+ka+4=0
①②×2 から
ゆえに
よって
[1] k=2のとき
2つの方程式はともに x2+x+2=0 となり, この方程式 数学Iの範囲では,
の判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
x2+x+2=0の解を求め
ることはできない。
D<0であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。
[2] α=2のとき
②から
......
(k-2)a+4-2k=0
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
......
これが答え
になるのはダメなのか
22+2+k=0
よって
このとき2つの方程式は2x2-6x+4=0, x2+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 とな
り,解はそれぞれ x=1, 2; x = 2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2
をもつ。
以上から
共通解はx=2
=-6,
α² の項を消去。 この考
え方は, 連立1次方程式
を加減法で解くことに似
ている。
k=-6 α=2 を①に代入しても
よい｡
Js]
注意 上の解答では、共通解 x = αをもつと仮定してαやkの値を求めているから、
求めた値に対して, 実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかど
うかを確認しなければならない。
WATEM
練習 2つの2次方程式x2 +6x+12k-24=0, x2+(k+3)x+12=0がただ1つの実数を
102
共通認してき
数の数の
'1
3章
1 2次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゆい

k=2とa=2を答えにするのは間違いです。k=2とa=2は同時に存在することはありません。それは①②の式に代入するとわかると思います。今回聞かれているのは、kがいくつの時に共通の実数解を持つのか。つまりkとa(=x)は同時に満たすものでないと回答としては不適切だと思います。仮にk=2のときa=2のときどちらの場合も共通の実数解を持つのであれば答えはk=2の時x=○、k=○の時x=2というように4つ記述しなくてはいけません。
ご不明な点や補足があれば質問して下さい🙇‍♀️