Question

え

問1の解説お願いします！空間ベクトルの四角柱の問題です。

間3 {M(a) - m(a)}da の値を求めよ。
II 図のように, OAOB=1, OC = 2である直方体 OADB-CEGF がある。辺 AE,
BF, DG 上に,それぞれ点P, Q, R をとる。 このとき, 4点O, P, Q, R が同一
平面上にあるとし、Ap,|BQ=gとする.また, 直線 DCと平面 OPRQの交
点をSとする。 ON,OB=8,OC=さとして,以下の問いに答えよ.
(配点50点)
C.
F
Q
B
E
P
A
G
R
D
HE 20
amc
象の
3

反射の仕方に応
像を作
公立はこだて未来大･推薦
26 2022年度 総合問題Ⅰ
問1 平面 OPRQ が直線DCに垂直であるとき, pとgの値をそれぞれ求めよ。
問2 [DR を p,g を用いて表せ。 問合
問3 OS を,およびp.gを用いて表せ。
09)
問4 四角形OPRQの面積をp.gを用いて表せ。 また。 四角形OPRQ の面積の最
大値,およびそのときのp.gの値の組をすべて求めよ。
第2部
Ⅰ 確率変数Xのとる値の範囲が0≦X≦1で、その確率密度関数f(x)は
+(x) 49499 (1) s
MAKERSTIN
ar (0 ≤ ≤ 1/2 )
a(1-1) (-—- <7≤1) 37s (um
公立
注

より
以上より 0≤a≤−2+√6¨¨¨¨¨ (3)
問3. 問2より
S°(M(a)-m(a)}da=∫(a²+4a+2)da+∫"(Ga+1)da
= [ {}_a²+2a²+2a]"'+[3a²+a]
43
(答) 岡
[_x)(1+x) — 3
解 説
<2次および3次関数の最大値・最小値, 2次不等式, 定積分の計算
問1. 3次関数は増減表が重要である。 2次関数は軸の位置での場合分け
に注意する。
問2. 不等式を解く際に、 場合分けが必要。
問3. 定積分の計算。 場合分けが必要。
1-Ⅱ 解答
ここで
および
FR
OP=a+AP=a+ c
C
2
問1. 平面 OPRQ+直線 DC
オーシャー
DC=DO+c=-a-b+c= ([− )y=(D) m
EEN COOP 1
つまり p=/12/2
DC･OP = 0 かつ DC・OQ=0
I
0Q=6+BQ=6+2c tas) A
312020
6-) -s+al-(D)su-(0)16
a・b=a.c=b.c=0,lap=|=1,c=4+4+p
avts-zozāv-s-
DC-OP=(-a-b+c)(a + c)=2p-1=001120200
DC-OQ=(-a-b+c).(b+c)=2-1=0
1+0=(1+nS-)-S+of=(o)-(0)14
121+00
公立はこだて未来大-推薦
1
q= 2
つまり
カー
と表せて
1
q=
2'
1
2
以上より
2. 四角形OPRQ は平行四辺形であるから,OROP+OQ となり
DR=DO+OR=-a-b+OP+OQ=p+q
･･････ (
t=
|DR|=| ptqc|=p+q|cl=p+q
2
･･････ (答)
よって
3.点Sは平面OPRQ上の点より、実数k, lを使って
07
OS-KOP+10Q=k(a + c)+1(8+26) 05-01
=ka+lb+ kp+lq
......①
2
(夜
と表せる。 また, 点Sは直線 DC 上にあるから 実数を使って
DS=tDC
OS = OD+DS=OD+tDC
=a+b+t(-a-b+c)
2
③, ④⑤ に代入して,tについて解くと
p+q
p+q+2
2
p+q+2
きぼう
=(1-t)+(1-t)+to_………②
ここでは1次独立であるから, ①,②の係数を比べて
k=1-t...... ③, l=1-t .......4. kp+lq
2
a+
ATT&00
2
-b+ p+q
p+q+2 p+q+2°
=t .......
したがって
OS =
間4. 四角形 OPRQ は平行四辺形より,その面積は△OPQ の面積の2
倍と考えて
& W
S
1
2 OPPIOQP-(OP.OQ)² ×2=√(p²+1) (q²+1)=p²q²

空間ベクトル 四角柱 垂直 ベクトル 平面と垂直 平面と直線の垂直条件