発展例題20
振動する台上の物体の運動
B
図のように,ばね定数kの軽いばねの下端を固定し,上端に質量Mの A
水平な台Bを取りつけ,その上に質量mの物体Aをのせた装置がある。
物体Aと台Bを,つりあいの位置を中心に鉛直方向に単振動をさせる。
このとき,物体Aが台Bからはなれることがないとすると,AとBは同
じ単振動をする。重力加速度の大きさをg として,次の各問に答えよ。
(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき,自然長からのばねの縮み
4 はいくらか。
指針
(1) 装置全体について, 力のつり
あいの式を立てる。
(2) A,Bが一体となって運動しているので, A
とBを一体とみなして運動方程式を立てる。
(3) (4) Aにはたらく力を考え, Aについての運
動方程式から,カを求める。 (4) は, (3)
結果を利用する。
(5) AがBからはなれるのは, f=0のときであ
る。また, 単振動におけるエネルギー保存の法
則では, 運動エネルギーと復元力による位置エ
ネルギーの和は一定である。 復元力による位置
エネルギーは、つりあいの位置からの変位xを
用いて, kx2/2 と表される。
AkAl
「解説
(1) AとBを
一体とみなす。 力のつりあ
いから,
k4l-(M+m)g=0
M+m
k
B
(2) 台Bとともに単振動をしている, 物体Aの加速度αはいくらか。 鉛直上向きを正)
Aのつりあいの位置からの変位をxとして, 加速度αをxの関数として表せ。
(3) 台Bが物体Aを押す力を,Aのつりあいの位置からの変位xの関数として表せ。
(4) 台Bが最高点に達したとき, 台Bが物体Aを押す力がちょうど0になったとする。
このときの単振動の振幅ro を, M, m, k, g を用いて表せ。
(1)
(5) 台Bをつりあいの位置から√2r0 だけ押し下げ、静かにはなすと, 物体Aは,つり
あいの位置からの変位がxのところで台Bからはなれた。 変位 x1, およびそのとき
の物体Aの速さを, M, m, k, g を用いてそれぞれ表せ。
(京都産業大 改 )
A
(M+m)g
41=
g
A
(2) AとBを一体とみなす
と,変位xのときに受ける B
力は、図のように示される。
運動方程式を立てると,
(M+m)a=k(Al-x)-(M+m)g
k4l-(M+m)g=0 を用いて, a =-
k(Al-x)
↑a
8
(M+m)g
k
M+m
-x
(3) Aが受ける力は, 図の
ように示される。 Aの運動
方程式を立てると
ma=f-mg
f=m (g+a)
= m(g-
k
M+m
k
0= m(9-M + mro)
0=mg
x=r=-
発展問題 235,236
1)=
M+m
'g
k
A
B
g
m
k
(4) このとき,Aは振動の端に達しており,(3)
の式でx=ro のとき, f = 0 になったと考えら
れる。
ro=-
mg
M+m
k
M
(5) AがBからはなれるのは, f = 0 になるとき
である。 (4) の結果から,変位 x1 は,
↑a
DES
-g
はなれたときのA,Bの速さをvとする。 B を
√2ro だけ押し下げてはなした直後と, AとB
がはなれるときとでは, AとBの単振動のエネ
ルギーの和は保存される。 単振動におけるエネ
ルギー保存の法則を用いると,
1/2 k ( √ 2 r ) ² = 1 {kx₂² + 1 / 2 (M + m) v²
x r に値を代入して, vを求めると,
M+m
k
