Question

あ

(3)で回転体かなぜこのような図形になるのかわからないです。また曲面Sってどこの部分でしょうか？

3
2
xyz空間内に2点P(u, u, 0),Q(u, 0, 1-u²) を考える。uが0から1まで動くとき
線分PQが通過してできる曲面をSとする。
(1) 曲面 S と xy平面, zx 平面で囲まれた部分の体積を求めよ。
(2) (u, 0,0)(0≦x≦1) と線分PQの距離を求めよ。
(3) 曲面 S をx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。
('03 東北大・理系・改)
解き直し
アシスト 1 解答解説」で振り返ってしっかり理解
2｢解説｣を読んで気づいたことや次までにやることを書いておこう! (ノートに書いてもOK!)

対応
ブラン
難関
国公立
難関
私大
46
2 回転体の体積 [2]
解答の指針」
空間図形の問題では、与えられた点や図形が座標空間においてどのような位置にあるかという
ことを把握することが重要である。
POINT
RIAD
軸に垂直な平面で切った図形の断面積が求めやすいような軸を選ぶ
(1) では,まず与えられた2点の位置関係を把握しよう。 座標の
式からもわかるが、右のように図示してみると, 2点P, Qは
x座標が同じなので、線分PQ は x軸に垂直であることがわか
る。したがって,(1) の体積を求めるときは、立体をx軸に垂直
に切った断面△PQR の面積を積分すればよい。
POINT
(1) 曲面 S と xy平面, 2x 平面で囲まれ
た部分を, 平面x=u (0<u<1) で
切ったときの切り口は, P, Qおよび
R(u, 0, 0) を3頂点とする
∠PRQ=90°の直角三角形である。
その面積は,
x2+2=11
Q.
√1-u²
10
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう!
Check
-u.
y=x
APQR=
R=RP RQ=
RQ=//u√1-u²
であるから 求める体積をV, とすると,
Vi=S" / "√1-a² du
V₁
-- (₁1- ) (1-x²) du ---
= -1/ (0 - 3/3) = 1/ ......(答)
x軸に垂直な平面で切った断面積を求め積分することで体積を求められたか
x2+2=11
√1-u²
回転体の断面の外側の円の半径は,中心から最も遠い点と中心を結ぶ線分
RQ≦RP のとき
RPSRQ のとき
Q
-d(u)
(3) では、曲面 S をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。 どのような立体になる
かはわからないが,体積は求めることができる。 まずは
切り口の面積を考える。 平面 x = " による回転体の断面
は,線分PQがx軸の周りに1回転するときに通過する
部分だから、右図のような点Rを中心とする同心円で挟
まれた部分となる。 このとき, 内側の円の半径は, (2)
求めた距離d (u) と等しくなるが, 外側の円の半径は,
回転の中心から最も遠い点と中心とを結ぶ線分となる。 本問の場合, 点 R から最も遠い点はQ
またはPとなるが, このどちらになるかはμ の値によって場合分けしなければならない。
Q
24
R
A POINT
16
P
\_y=x
y
d(u)
軸に垂直な平面で切った
図形の断面積が求めやす
いような軸を選ぶ
非回転体の体積問題では切り口
の選び方が重要である。 本間で
は,線分PQがx軸に垂直に
なっていることに気づいて 切
り口を選ぶ。
問題文の「uが0から1まで動
く」から、断面の存在範囲は
O S1である｡範囲が与えら
れていないときは 切り口の図
形の存在条件を考える。
(2) 線分PQの長さは,
PQ=√²+(1-²)=1
であるから 求める距離をd(u) とおくと.
APQR = 1·1· d(u) =/us-u²
よって, d(u)=u√1-u²......(答)
(3) 回転体を平面x=uで切ったと
きの切り口は,線分PQがx軸の
周りを1回転するときに通過する
部分であり、右図のようなRを中
心とする2つの同心円で挟まれた
部分となる。C
(ii)
=2u²-1
= 2 (u + + √2/2) (u - √/2/2 ) D
したがって, 切り口の面積をS (u) とおくと.
(i) 0≤u≤
のとき
√2
1
√√2
RP-RQ≦0. すなわち, RP RQ より,
S(u) =TRQ²π{d(u)}²
ここで,2つの同心円のうち, 小さい方の円の半径は, (2)で求めた
d(u), 大きい方の円の半径は,線分 RP, RQ の大きい方である。
RP²RQ²=u²-(1-u²)
･Su≦1のとき
RPSRQ のとき
√1-²
V₂-f'S(x) du
V2=
RP2-RQ2≧0. すなわち, RP ≧ RQ より
S(u) = TRP² - π{d(u)}²
=n{u²-w²(1-u^)}=πu^
(i), (i)より 求める体積をV2とすると
=n{1-u²-u^(1-u²)}=²(1-2u²+u^)
d(u)
= 5.² S + =
π(1-2u²+u*) du+
2u³
- - + -- ²².
u-
√√2 3+5√2
= 1/2+²
=fw² du+=f*(1-2u²) du
u¹
-=
d(u)
RQRPのとき
+S₁zu² du
π
15
1
E
......(答)
d(u)
BOK
△PQRの面積を2通りに表すこ
とにより, d(u) を求める。 また
は、 三角形の相似に注目して、
√1-ud(u) = 1: u
より求めてもよい。
G POINT 2
回転体の断面の外側の円
の半径は,中心から最も
遠い点と中心を結ぶ線分
点Rから最も遠い点はQまたは
Pとなるがの値によって入
れ替わる。
DRP Q の符号を調べること
で, 線分 RQ と RP の大小を調
べる。
なお, 式変形をせずに下のグラ
フから求めることもできる。
振り返り
CHECK □回転の中心から最も遠い点を調べ, 断面積を場合分けして求められたか
O
t=√1-u²
✓(RQ)
√2
計算力
定積分の基本性質より、
u du
t=u
(RP)
+=f#= (1
u du
+
16
(1-2
(1
解けない問題はきみのノビシロ。 解き直