Question

ぴな

互いに素の時どちらかにマイナスをつけなければならないのはわかっているのですが、今回は答えと違う式の方にマイナスをつけました。答えと違う方にマイナスをつけると範囲が変わってしまうのですがどうしたらいいですか。

47
花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では、参加者全員にスナック菓子を1
袋ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり、1年前のクリス
マス会を知っている人に話を聞いた。
1年前は、 参加者は30人で, スナック菓子は, 3袋入りの箱と7袋入りの箱の2種類が売られていた。
3袋入りを箱 7袋入りを箱買うと30人全員に1袋ずつ残さず配ることができたという。ただし,
a b はともに0以上の整数とする。 このことから
3a+76=アイ ...... ①
が成り立ち、①を満たす a, bの組(a,b) は, (a,b)= ウエ
組だけ存在する。
(1) 花子さんは,参加者が何人であれば、3袋入りと7袋入りの箱をうまく組み合わせて買うことで
スナック菓子を参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。 参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。
3袋入り x 7袋入りを箱買うとする。 ただし,x,yはともに0以上の整数とする。
(i)yが3の倍数のとき、y=3 (は0以上の整数)と表すと
3x+7y=
(x+51)
であり, 3x+7yと表される数は
以上の3の倍数すべてである。
(ii)yを3で割った余りが1のとき, 31+1 (1は0以上の整数)と表すと
3x+7y=サ (x+シ 1
__ス) +セ
(ただし、
>セ
であり, 3x+7y と表される数は3で割った余りがソである整数であり,そのうち最小のも
のはタである。
()yを3で割った余りが2のとき, (i), (ii)と同様に考えると, 3x+7y と表される数は3で割っ
た余りがチである整数であり、そのうち最小のものはツテである。
(i)~(ii)より, 3x+7y (x, y はともに0以上の整数)と表されない自然数は全部で
ト 個ある。
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部でト通りある。
(2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱5袋入りの箱の
2種類が売られており、中身のパッケージのデザインも異なっていたため、クリスマス会を盛り上
げるため, 2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。
このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても, スナック菓子を
参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。 (配点20)
公式解法集 48
OSTO
難易度★★★
SELECT
SELECT
90 60
目標解答時間 15分
オ ). ( カ
の2

47 2元1次式で表される整数の性質
花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では、参加者全員にスチック処
ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり、1年前のクリス
マス会を知っている人に話を聞いた。
年前は、参加者は30人で、スナック菓子は、入りの入りのの2種類が売られていた。
3AD & a M. 7 A, 3011011015LMONES,
EL.
ものとする。 このことから
Sa+ 76 [
が成り立ち､①を満たすもの (.)は､(あ(ウ
だけ存在する。
(1) 花子さんは、参加者が何人であれば、入りと入りの箱をうまく組み合わせて買うことで
スナック菓子を参加者全員に提ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。 参加者全員に
恐ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。
3入りを
袋入りを箱買うとする。ただし、
はともに0以上の整数とする。
の倍数のとき､y=3 (70以上の整数)と表す。
3x+7y2(x+1)
であり、3x+7yと表される数はコ以上の3の倍数すべてである。
(i)を3で割った余りが1のとき、 93/41 (70以上の整数)と表すと
セ
x+y=サ([セ] (ただし、サ
であり、3x+7yと表される数は3で割った余りが2である整数であり、そのうち最小のも
のはタである。
myを3で割った余りが2のとき、白), (40)と同様に考えると, 3x+7p と表される数は3で割っ
た余りか[チ]である整数であり、そのうち最小のものはツテである。
(日)〜 (1)より、3x7y (x,yはともに0以上の整数)と表されない自然数は全部で下個ある。
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても､参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部で 通りある。
(2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱5袋入りの痛の
2種類が売られており､中身のパッケージのデザインも異なっていたため、クリスマス会を盛り上
げるため、2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。。
このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしてもスナック菓子を
参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。
解答
題意より, 3a+7630...... ① が成り立つ。
また, a = 3,6=3 は ① の整数解の1つであるから
3.3+7.3 = 30 ......
②
①-②から3(a-3)=-7(6-3)
3と7は互いに素であるから、整数kを用いて
a-3=-7k, b-3=3k A
したがって
(0)2
a=-7k+3,63k+3 ...... ③
と表される。a,bはともに0以上の整数より
7k+3≧0かつ 3k+3≧0
-1SRS/2/4
んは整数より k = -1,0
これらを③に代入して, ①を満たす α, bの組は
(a, b) = (10,0) 12, (3, 3) 12
( 1 Xi) 3x+7y=3x+7.31=3(x+'71) <Point
x, lはともに0以上の整数であるから, x+71 と表される数は0以上
の整数すべてである。
したがって、3x+7% と表される数は0以上の3の倍数すべてである
83
こう解く!
STEP 問題文から必要な情報を抜き
そう
スナック菓子の髪の合計につ
いて立することを考える。
STEP 3x+7y と表される数を分類し
② より
を3で割った余りで分類
ることにより、x+y
3□△ △は文字を含ま
いるより小さい整数)の形
変形して, 3x+7y と表され
数を求める。
_STEP これまでの過程を振り返り
え方を利用しよう
2袋入り
3
5袋入
箱,
箱買うとし, Yを2で
た余りで分類することに
2X +5Yを2□ + △ △は
を含まないより小さい!
の形に変形して, 2X+5
表される数を求める。
A
3 (43)は3の倍数である。
7 (6-3)も3の倍数。 さら
と7は互いに素であるから、
は3の倍数。
7 (6-3) は7の倍数である
3 (43) もの倍数 さらに
7は互いに素であるから、
7の倍数。

3a +76=30
a = 3, b = 3
a-3 = 7k, 6-3 = -3k
a= 17k+3, b = -3k+ 3
7K-3≧0かつ-3K+3≧0
37
≤ k ≤ 1