442
の
基本例題89 方べきの定理とその逆を利用した証明問題 ①①000
(1) 鋭角三角形ABC の各頂点から対辺に, それぞれ垂線 AD, BE, CF を引き
それらの交点(垂心)をHとするとき, AH HD=BH・HE=CH ・HF が成り立
類 広島修道大
つことを証明せよ。
(2) 2点 Q R で交わる2円がある。 直線 QR 上の点Pを通る2円の弦をそれぞ
れ AB, CD (または割線を PAB, PCD) とするとき, A, B, C, D1つ
周上にあることを証明せよ。 ただし, A, B, C, D は一直線上にないとする。
440 基本事項 ① ②2 重要90
指針(1) 直角2つで円くなる により, 4点B,C,E,F は1つの円周上にある。
ゆえに, 弦 BE と弦 CF で 方べきの定理 が利用できて
BH ・HE=CH・HF
同様にして, AH・HD=BH・HE または AH･HD=CH･HF を示す。
(2) PA･PB=PC・PD ・・・・・・ (*) であることが示されれば, 方べきの定理の逆により、
題意は証明できる。
!
よって, (*)を導くために, 弦AB と弦 QR, 弦 CD と弦 QR で方べきの定理を使う。
ゆるめ
【CHART 接線と割線, 交わる2弦・2割線で方べきの定理
Senpo.
解答
(1) ∠BEC=∠BFC = 90° であるから,
4点B, C, E, F は1つの円周上に
ある。 よって, 方べきの定理により
BH ・HE = CH・HF
(3)
1 TE
同様に, 4点A, B, D, E は 1つの AFB
円周上にあるから
AH ・HD=BH ・HE
① ② から
(2) 2円について
AH ･HD=BH・HE=CH・HF
89
PA・PB=PQ・PR,
PC・PD=PQ・PR
PA・PB=PC・PD
ゆえに
よって, A, B, C, D は 1つの円周
上にある。
B
A
A
F
C
E
B
C
D
PBS)5453 14-10-89-12
方べきの定理
直角2つで円くなる
D
弦BEと弦CF に注目。
<∠ADB=∠AEB=90°
弦 AD と弦BE に注目。
方べきの定理の逆
(1) 円に内接する四角形 ABCD の対角線の交点EからAD に平行線を引き,
直
線BCとの交点をFとする。 このとき, F から四角形ABCD の外接円に引
た接線FGの長さは線分FFの長さに
7
(
に
し
