数学
高校生
解決済み
3️⃣の解き方どこを間違えてますか？
158
解答
例題 100 円周上の点における接線
/p.153, p.154 昼頃
円(x-1)+(y-2)=25上の点P(4, 6) における接線の方程式を求めよ。
基本例
指針 接線の方程式を求める方法として, 以下の4通りの方法がある。1の解法が最も
であるが, いろいろな解法を身につけておこう。
① 公式利用
点Pは円周上の点であるから、接線の公式を用いて直ちに求められる。
円(x-a)+(y-b)'=r2 上の点 (x1,y) における接線の方程式は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=p²
② 接線半径
円の中心をCとすると, 点Pにおける接線は半径 CP に垂直である。
したがって,点Pを通り,直線 CP に垂直な直線を求めればよい。
[3] 中心と接線の距離 = 半径
点Pを通る直線の方程式を作り, これと円の中心Cの距離が半径に等しければ接
になる点と直線の距離の公式を用いて,直線の方程式を決定すればよい。
④ 接点重解
点Pを通る直線の方程式を作り,円の方程式と連立させて得られる2次方程式が
解をもつとき,接線になる。その際、重解⇔ 判別式D=0 を用いる。
① (4-1)(x-1)+(6−2)(y-2)=25
よって
3x+4y=36
② 円の中心をC(12) とする。
求める接線は,点Pを通り,.
半径 CP に垂直な直線である。
4
直線CP の傾きは
であるか
ら 求める接線の方程式は
3
y-6=(x-4)
ゆえに
両辺を2乗して
①
YA
0
|m・1-2-4m+6|
√m² + (−1)²
すなわち mx-y-4m+6=0
と表される。
8\5=1
円の中心 (12) 直線 ① の距離が円の半径5に等しい
から
=5
i
P(4, 6)
C(1,2)
すなわち 3x+4y=36(S+p)-(+
③点Pにおける接線はx軸に垂直でないから、傾きを ③ 中心と接線の距離=半径
m とすると,接線の方程式は
<x軸に垂直な直線は
y-6=m(x-4)
y=mx+nの形で表せ
の確認を
ないから,
している。
| |-3m+4=5√m²+1
(-3m+4)=25(m²+1)
公式利用
2② 接線半径
この解法は,円の接線の
公式を導くときに利用さ
れるものである(p.154
解説参照)。
垂直傾きの積が
点 (x1, VL) と直線
ax+by+ c = 0)の距離は
[ax₁+by+c|
√a²+b²
整理すると
よって
これを①に代
④点Pにおけ
m とすると,
y.
すなわちy
と表される。
②を円の方
(
検討
整理すると
(m² +1
m²+1=0ヵ
D
4
|=1
= (L
=16
直線②
したがって
よって
これを②
円の接線の
円の接線に一
とよいが,
る場合は,
の CHART
なお, p.16
習した後で
CHART
1
3
公中
練習次の円の
② 100
(1) x2+
めよ。
ラム 基本事項
法が最も簡
しければ接線
よい。
次方程式が重
0
圣
は円の接線の
こときに利用さ
ある (p.154
きの積が1
の距離 =半径
な直線は
の形で表せ
の確認を
と直線
=0 の距離は
tel
6²
整理すると
3x+4y=36
これを①に代入して整理すると
軸に垂直でないから, 傾きを4接点解
点Pにおける接線はx
とすると,接線の方程式は
(4m+3)²=0
3
4
よって
m=-.
y-6=m(x-4)
すなわちy=mx-4m+6
と表される。
②を円の方程式に代入して
整理すると
(x-1)+(mx-4m+4) ²=25
(m²+1)x2-2(4m²-4m+1)x+8(2m²-4m-1)=0
m²+1=0から,この2次方程式の判別式をDとすると
D=(4m²-4m+1)-8(m²+1)(2m²-4m-1)
4
=16m +16m² +1-32m²-8m+8m²
-8(2m²-4m-m²+2m²-4m-1)
=16m² +24m+9= (4m+3) 2
直線②と円が接するための条件は
(4m+3)=0
したがって
よって
3
4
これを②に代入して整理すると
m=-
D=0
BARON
^='(1−‹«)+"($−x)
DESTA
g = 15.3
y=-x+9
CHART 円周上の点における接線の方程式
① 公式利用
③ 中心と接線の距離=半径
13 と同様に,軸に垂直
でないことを確認。
SMJERU
1944
円の接線の求め方
円の接線についてまとめると,次のようになる。 問題に応じて使い分ける
とよいが,この例題のように, 円の中心の座標や接点の座標がわかってい
る場合は、
次
や2②の方法を利用すると計算がらくになることが多い。
の CHARTとともに,それぞれの解法の特徴を確認しよう。
なお, p.162の振り返りでも詳しく説明しているので, 例題 101,102 を学
習した後で参照してほしい。
り大変。
の方法は, 計算がかな
y=… の形で答えても
よい。
② 接線半径
④ 接点重解
数研
https://v
次の円の、与えられた点における接線の方程式を求めよ。
159
(2) (x+4)²+(y-4)²=13,
確認しよう
3章
1円と直線
18-031x=#04 (1) SE
rote
1988-/
(-2, 1)
KOK
12
円の中心とし(1.2)とする。
求める接線は点Pを通り、半径CDに垂直な直線である。
直線CDの傾きは、4であるから、求める接線の方程式は、
3
y-6=3(x(-4)
4
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y=-2x+3+6
4
y
3x+9
4
4y=-3x+36
3x+4y=36
点Pにおける接線は、x軸に垂直でないから、傾きをmとすると、
接線の方程式は、
y-6=m(x-4)
y-6-mx+4m=0
mx-yy-4m+6=0
①
と表される。
円の中心(1.2)と直線①の距離が円の半径5に等しいから、
m-2-4m+61-1-3m+4
√m² + (-1) ²
13m+4=5
1m²+1
√√m²+1
1-3m+ 4 = 5√√m²+1
(-3m+4)²=5(m²+1)
9m²-24m+16-5m²-5:0
4m²-24m+11=0
KOKUYO LOOSE-LEAF /-836BT 6 mm rut
回答
回答
誤りは。ノートの下から4段目の絶対値の外し方のとこですね。
絶対値の記号、｜〜｜を外すのに二乗するのはいいんですが、式全体を二乗するので、
右辺の式『5√m²+1』は、『√m²+1』だけでなく、整数5も二乗して『25(m²+1)』となります。
あとは、そのまま解説通りに解けるはずです。
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ほんとだ！
ありがとうございました！！