Question

あ

(2)が分かりません

71 積分方程式 (定積分で表された関数)
[1] 関数f(x)が, f(x)=3+2e-*f(t)dt
f(x) を求めよ.
[2] 関数 f(x) はすべての実数xで微分可能であり,等式
e*f(x)=e^x+fe'f(t)dt
を満たしている.
(1) f(0) の値を求めよ.
を満たす.このとき
(2) f(x) を求めよ.
Pas

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

トムくま

(1)x=0を代入して
e^0 f(0)=e^0+0 よりf(0)=1

(2)両辺xで微分して
e^xf(x)+e^xf'(x)=2e^2x+e^xf(x)
整理して f'(x)=2e^x
積分してf(x)=2e^x+C
f(0)=2+C=1よりC=-1だから
f(x)=2e^x-1

あ

(1)ってf（x）の前の係数e^xを両辺で割ってから求めてはだめなのですか？

トムくま

右辺第二項のe^tはインテグラル内部にあるため、割ることはできません。

あ

あ！右辺のe^tではなく左辺のe^xのことです。詳しく言ってなくてすみません🙇‍♀️

トムくま

なるほど、f(x)=の形にしてからということですね。
それでももちろん問題はありません。

あ

問題ないのですね！
でも答えが1になりません…e²になってしまいます…

トムくま

e^xで両辺割ると
f(x)=e^x+∫()/e^x (∫の中身は()で省略しています)
よってf(0)=e^0+0=1

あ

なるほど！分かりました！