Question

ぴひょ

この回答の間違えてしまった原因を教えてください。

2549
-7°
3(5p-3)+2 = 7m²4
15 p-7m = //
n=32+2 = 54 +3 = 7₂ +4₂
5y
0 3x²+2=53+3
3x-57=1
3(x+2) - 5 (1 +1)=0
x+2=51€ Ⓒ
@ 5 k-2, y = 3€ + 1.
(2₁4)=(-2,-1)
@
3x+2=72+4
3x - 72 = 2 a
15k-6-72=2
15€-178 = +8 (K₁2)=(8.16)
15.(k-8) - 7 (2-16)=0
K-8 = 71 ( < Ⓒ )
(K 7l + 8)
x=350+40-2=351+38
n = 3 (351 +38) + 2
= 105 1 + 116 >0
l>-/./....
I 17 ⒸDal = - 1
Dn= -105 + 116 =11

00000
基本例題 129 1次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。 × ×
が共通の数。
8. が最小である。
よって、 「3で割ると2余り,5で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると
A8, 23, 38, 53. 68,
指針3で割ると2余る自然数は2,5, 8,11,14, 17, 20 23,
5で割ると余る自然数は 3, 8, 13,18,23,
THEREN
******
FIRINE
3と5の最小公倍数ずつ大きくなる。
基本 127,128
また､7で割ると4余る自然数は 1 4, 11, 18, 25,32, 39 46 53 ......
A B から 求める最小の自然数は53 であることがわかる。
①
x=2, y=1 は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから, たを整数として,x-2=5kと表
される。よって
x=5k+2 (kは整数) ...... ②
② を 3x+2=7z +4に代入して
ゆえに 7z-15k=4 ...... 3
z=-8, k=-4は、 ③の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(+4) = 0 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7と15は互いに素であるから, lを整数として,z+8=151 と
表される。 よって z=151-8 (ℓは整数)
これをn=7z+4に代入してn=7(157-8)+4=1057-52
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53
このように書き上げによって考える方法もあるが、条件を満たす数が簡単に見つからな
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
解答
nはx, y, zを整数として､次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
ave
3x+2=5y+3から 3x²-5y=1
3(5k+2)+2=7z+4
[注意] [3x+2=5g+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、係
数が小さい方が処理しやす
このときy=3k+1
3x-7z=2から
3(x-3)-7(z-1)=0
ゆえに、 を整数として
x=71+3
これとx=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって 5k-72=1
これより, k, 1が求められ
るが, 方程式を解く手間が
1つ増える。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

トムくま

すぐ気付くのはここですね。

ぴひょ

ありがとうございます！