Question

おにぎり

⑷解説の一つ一つは何をしているかわかるんですけど、全体的な流れというか繋がりというかどうしてそういう方法でやったのかよくわかりません

a,bを実数の定数とする. xの3次式
と, 3次方程式
f(x)=x3+(a+3)x2+(3a+b)x+36
3x²+ax+32²+30x+bx+36
2ax+6x+3a+b
f(x)=0
がある.
(1) f(-3)を求めよ. 0
(2)a=-1 かつ b=1のとき, (*) を解け . --3
1+134
2-1
(3) (*) が異なる2つの虚数解をもつための a b の条件を求めよ.
~
(*)
②
a,bが (3) で求めた条件を満たすとし, (*) の異なる2つの虚数解を α, β とする.
このとき,d2, B2 がともに(*)の解となるようなa, b の値の組(a, b) をすべて求
めよ.

数xについ
x2+ (2a-
12
セナ..
3
+3²
1²
2.
2
x に対
(3) 思考力・判断力
(1) の結果より,(-3)=0 であるから, 因数定理より、
f(x) は x+3 を因数にもつ.
したがって
d
であるから, (*)は,
これより、
f(x)=x+(a+3)x² +(3a+b)x+36
+b)x+30)
☆(x+3)(x+ax+b)
であり,
(x+3)(x+ax+b) = 0.
COR
x= -3, または, x2+ax+b=0
であるから, (*)が異なる2つの虚数解をもつための条件は,
x2+ax+b=0
... (2)
が異なる2つの虚数解をもつことである.
②の判別式をDとすると, ② が異なる2つの虚数解をも
つための条件は、
D<0
D=a²-4b
であるから, 求めるα, b の条件は,
a²-4b <0.
・･･･(答)
(4) 思考力・判断力 表現力
車
道しるべ
まず, ² が (*) のどの解と一致するかを考える.
(3) より, α, βは,実数を係数とする2次方程式②の異な
る2つの虚数解であるから, α, βは互いに共役な複素数であ
り、(**) より (*) の3つの解は,
x = -3, α, B
虚数
である。ただし、虚部が正である方をaとする.
よって, 2 が (*)の解であるとき,
2+ (7) a² = -3, (1) a²=a, () a²= B
のいずれかが成り立つ.
(ア) d'=-3 のとき
KENELM
虚数解αの虚部は正より,α=√3であり,βはαと共
役な複素数であるから,
(a, B)=(√3 i, - √3i).
このとき,B'=(-√3i)2=3i²-3であるから, B'
も (*)の解となる.
+6
x+3x²+(a+3)x² + (3a+b)x+3
tul
+ax'
+3x²
2次方程式
ax2+(3a+b)x
ax2
x2+ax+b=0.
+3ax
f(x)=0. (
bx+3b
bx+38
※2次方程式の解の判別
ax2+bx+c=0
(a,b,c は実数の定数)
について, D=b-4ac とおく
と、この方程式の解は,
D>0のとき、 異なる2つの実数解
D=0のとき, (実数の)重解
D<0のとき、 異なる2つの虚数解
である. Dを判別式という.
200
(x+3)(x^²+ax+b)=0.... (**)
f(x)=0.
◆実数を係数とする n次方程式
(n≧2) が虚数 s+t(s,tは実
数, t≠0) を解にもつとき,それ
と共役な複素数 sti もこの
方程式の解である.
・････◆ 複素数 s + ti (s, t は実数, i
は虚数単位)に対して,
s を実部, tを虚部
という.
◆ (4) の条件 「α', B' がともに
(*)の解となる」 より,虚部が正
である方をα (または β)と決め
ても差し支えない.
ここで,α, B は ② の2つの解であるから, 解と係数の
関係より,
③ ④ ⑤ より,
lb=αβ=-3=3.
よって,
[a=-(a+B)=(√3i-√3)=0,
(イ) α = α のとき
とおける.
α^=B より,
la+B=-a,
laß=b.
(a, b) = (0, 3).
Mea(a-1)=0.
α=0, 1.
αは虚数解であるから不適である.
(ウ) α=β
き
虚数解 α, βは互いに共役な複素数であり, 虚部が正で
ある方をαとしているから, 実数 q (q0)を用いて,
a=p+qi, B=p-qi
⑦より,
であり,より
d
g>0 より,
(p+qi)² =p-qi.
p²-q²+2pqip-qi.
pg は実数より, 'd', 2pagも実数であるから,
p²-q² =p,
2pq=-q.
このとき, ⑥ より,
よって,
B
q(2p+1)=0
2p+1=0.
p=--1/2-
( - 12 )² - 4² = - 12/²
2.
q=
◆ x+ax+b=0.
√3.
(a, B)=(p+qi, p-qi)
・2次方程式の解と係数の関係
2次方程式 ax+bx+c=0
の2つの解をα, β とすると,
|a+B==b₁
aß=
◆ このとき,α, βは異なる2つ
の虚数解であるから適する。
◆ s, t, u, u を実数とするとき,
s+ti=u+vi
が成り立つための条件は,
s=u かつt=v
である.

190-5) ± (20-3)²
このとき,
2
B² = ( − 1 = √³i) ² =
P+8
よって,
2
13
P-E
-1-√3 i
であるから, B2 も (*) の解である.
⑧ と ④ ⑤ より,
1+2√3i+3i² _ _−1+√3 i
4
αを実数の定数とし,
| a=-
=-(α+β)=-(-1)=1,
b=a=(-1)-3i=4=1.
(a,b)=(1,1).
以上,(ア), (イ),(ウ)より 求める組 (α, b) は,
(a, b) = (0, 3), (1, 1).
TMS (0<0
ポイントチェック
f(x)=x3+(a+2x+3ax +2a
とする.
(1) f(-2)を求めよ.
(2) α=2のとき, 方程式f(x)=0を解け.
2068ART
= a
･･･(答)
pas
*) の3つの解は、
Ja+B=-a,
aß= b.
このとき,α, βは異なる2
の虚数解であるから適する
(答)
(1) 0
(2)
4
Das
x=-3,α,B.
0=(1+49) p.
140
x=-2,-1±i
4
5