Question

藤koos

カッコ1の最後の式の(3-1)×4の理由がわかんないです

364 第6章 場合の数
例題206 三角形の個数(2)
A1, A2, As, ..., A12 を頂点とする正十二角形が
ある.この頂点のうち3点を選んで三角形を作るとき,
次の個数を求めよ.
(1) 二等辺三角形
(2) 互いに合同でない三角形
考え方 (1) 二等辺三角形は、 右の図のように底辺の垂直二等
分線について対称になる.
つまり, 頂角にくる点を固定して, 底角にくる点
のとり方を考えればよい.
解答
A1~A12 について同様に考えれば, 個数を求める
ことができるが, 正三角形になる場合に注意する.
(2) 頂点間の間隔に着目する.
右の図のように①と②は合同
で ①と③は合同でない.
(1) A1 を頂角とする二等辺三角形は,
線分 A1A7 に関して対称な点の組
(A2, A12), (A3, A11),
(A4, A10), (A5, A9),
(A6, A8)
の5通り
よって, 60-(3-1)×4=52(個)
(2) 1つの頂点をAとしてよい.
他の2頂点を Ai, Aj(i<j) とす
るとき,
頂点は12個より, 5×12=60 (個)
このうち, 正三角形となる4個の三角形は3回重複
して数えている.
a
A9 ! A5
A7
よって, 求める個数は, 12個
|z=5
x=i-1, y=j-i, z=13-j
として, x+y+z=12 (1≦x≦y≦z)
を満たす整数解の個数を求めればよい.
この整数解を求めると,
(x,y,z)=(1,1,10),(1,2, 9), (1,3,8),
(1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 2, 8),
(2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 5, 5),
(3, 3, 6), (3, 4, 5), (4, 4, 4)
A1
A8
x=3
y=4,
A4
A₁
A12, A2
All
A10
A9
A10 #
A8
Ø
***
A7
A₁
A6
A3
A4
A5
# A4
正三角形は他の頂点
から見ても二等辺三
角形なので,重複し
て数えてしまう.
正三角形となるのは
(A1, A5, A9),
(A2,A6, A10),
(A3, A7, A11),
(A4,A8, A12)
1つの頂点を固定し
て他の2つの頂点の
とり方を考える.
辺の移動回数が小さ
い順に考えていく.
M
AICACACA
回回回
D1≤x≤y≤z,
|x+y+z=12

答 (1) A1 を頂角とする二等辺三角形は,
線分 A1A7 に関して対称な点の組
(A2, A12), (A3, A11),
(A4, A10), (A5, A9),
(A6, A8)
の5通り
して数えている.
a
60-(3-1)×4=52 (個)
よって,
(2) 1つの頂点を A1 としてよい.
他の2頂点を Ai, Aj(i<j) とす
るとき,
A9
頂点は 12 個より,
5×12=60 (個)
このうち,正三角形となる4個の三角形は3回重複
x=i-1, y=j-i, z=13-j
として, x+y+z=12 (1≦x≦y≦z)
を満たす整数解の個数を求めればよい.
この穀粉解を求め
z=5
A1
A8
AZ
A1
A5
x=3
y = 4,
A4
1