回答

as a result of ~
の「of」の品詞は前置詞、つまり後ろに名詞をとらなくてはなりません。
これがbeingという動名詞の形をとっている理由です。
したがって①と④は必然的に消えます。

あとは「As a result of」の直後のフレーズの意味上の主語を考えます。
廃棄物を処理しなかったのは「the hospital」です。
つまり前半部分の意味上の主語は病院になります。
ここで②を考えると、「be managed」の形は受動態、つまり「病院が管理されなかった」という不適切な意味になってしまいます。

したがって④が正解となります。

「not managing」でも「廃棄物を管理していないため罰金を払うだろう」と十分ですが、「not having managed」という現在完了の形をとることで、「過去」の意味合いをもたせることができるので、「管理してこなかっ『た』」というように過去を表しています。

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