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基本127 128
基本例題 129 1次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
8が最小である
よって、 「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」 を小さい順に書き上げると
入 8, 23, 38, 53, 68,
また, 7で割ると4余る自然数は 4, 11, 18, 25, 3239 46 53
A, B から 求める最小の自然数は53 であることがわかる。
3で割ると余る自然数は2,5,8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
5で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18, 23, ······
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このように、書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つから
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
解答
nはx,y,zを整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。
3x+2=5y+3 から
3x-5y=1
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5kと表
される。よって
x=5k+2 (kは整数)
② (a bom)
② を 3x+2=7z+4に代入して
ゆえに 7z-15k=4 ·..... ③
3(5k+2)+2=7z+4
z=-8,k=-4 は, ③ の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+40 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7 15 は互いに素であるから, lを整数として, z+8=151 と
表される。 よって z=151-8 (lは整数)
これをn=7z+4に代入してn=7(151-8)+4=1051-52
(TE bom) -
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53 TE bom) 88-
練習
③ 129 1000 を超えない最士の
重
ど
[注意] 3x+2=5y+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、
数が小さい方が処理しやす
このときy=3k+1
x-7z=2から
3(x-3)-7(z-1) = 0
ゆえに,を整数として
x=71+3
これとx=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって 5k-7l=1
これより, k, lが求められ
あるが, 方程式を解く手間が
1つ増える。
3で割ると2余り, 5で割ると余り 11で割ると5全る自然数のうちで
で
検討 百五減算
MS-A78)00
ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りを a,b,c とし, n=70a+216+15c とす
る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年
齢である。 これは3,5,7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、百五減算と呼ばれ
る。なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。
求める数をxとすると, xa (mod3), x=6 (mod5), x=c (mod7) であり、
n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b=1·b=b=x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7)
よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105で割り切れる。
ゆえに,kを整数として, n-x=105k から x=n-105k
このkが105を引く回数である。
m-
[1.
ほんとだ!ありがとうございます😊