Question

らこ

これの問5が分かりません。運動方程式の解の導き方、そしてグラフを教えていただけると幸いです。

2
なめらかな水平面上で、 ばね定数kのばねにつながれてæ 軸方向に振動する質量mの物体が
ある｡ バネが自然長になっているときの物体の位置をæ=0 とする。
1. この運動の運動方程式を書け。
dx
A
2. 時刻 t = 0 で物体の位置と速度が、x=0、 = v として与えられたとする。この初期
条件のもとで、運動方程式の解を求めよ。 dt
(1) -
th
次に、その物体が (バネの力に加えて) (0) を受けるとする。
ただし、Cは十分に小さい定数と仮定してよい。
速度に比例した抵抗
3. この運動の運動方程式を書け。ht()()
<4>上記方程式のばね定数k およびCの単位を書け。
⑤ 時刻 t0で物体の位置と速度が、0、 = として与えられたとする。この初期
条件のもとで運動方程式の解を求め、時間tの関数としてのグラフをかけ。
dt
XEROSO

ばね 抵抗

Answer 1

sho

画像のように求めることができます。
運動方程式は定数係数2階線形微分方程式であるので、λについての2次方程式(特性方程式)の解の個数に応じて一般解が求まります。ここで、Cは十分に小さい、という仮定から、γ>ω_0より特性方程式は2つの虚数解を持ち、物体は減衰振動をすることがわかります。

なお、特性方程式の符号による場合分けについては、以下のレジュメ第3章がわかりやすいかと思われるので、宜しければご覧ください。
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~teiji.kunihiro/QM_suppl/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80.pdf

らこ

ありがとうございます🙇‍♂️