Question

Hi（受験生）

２番のa≠0の時です。
頭の中でa<0かつD≦0でなければならないと想像した時に
これを文章化することができませんでした。
解答を見ればこのような書き方をすればいいのかと分かったのですが記述に必要十分条件と書くのに懸念があります。
どのような時に必要十分条件と書けばいいんでしょうか？

また「全ての実数x」と「任意の実数x」の違いは何ですか？

180
00000
基本例題 113 絶対不等式
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式x+(k+3)x-k> 0 が成り立つような
定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して,不等式 ax^²-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.171 基本事項 ⑥ 「演習129
指針 2次式の定符号 2次式 ax2+bx+cについて D=62-4ac とする｡ ·········!｣
常に ax2+bx+c>0⇔a> 0, D < 0
常に ax'+bx+c<0⇔a<0, D<0
(1) x²の係数は 1 (正) であるから, D<0が条件。
常に ax2+bx+c≧0⇔a> 0, D≦0
常に
ax²+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(2) 単に「不等式」 とあるから, α=0 (2次不等式で
ない)の場合とa≠0)の場合に分ける。
[補足 ax²+bx+c>0 に対して, a=0 の場合も含め
ると,次のようになる。
解答
(1) x²の係数が1で正であるから 常に不等式が成り立
つための必要十分条件は、 2次方程式
x2+(k+3)x-k=0 の判別式をDとすると D<0
D=(k+3)^-4・1・(-k) =k²+10k+9= (k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(+1) < 0
ゆえに -9<k<-1
+
常に ax+bx+c>0⇔a=b=0, c>0; または α > 0, D < 0
+
[a>0, D<0]
a=0のとき, 2次方程式 ax²-2√3x+α+2=0の判別
式をDとすると,常に不等式が成り立つための必要十
分条件は a<0 かつ D≦0 (*)
2=(-√3)a(a+2)=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)
であるから, D≦0 より
よって
an-3, 1≦a
「すべての実数x」または「任意の実
数x」 に対して不等式が成り立つと
は, その不等式の解が, すべての
数であるということ｡
(1) の D<0 は, 下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
(2) a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり、 例え (*) グラフがx軸に接する, また
ばx=0のとき成り立たない。
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから, D< 0 ではなく D≦0と
する｡
(a+3)(a-1)≧0
a<0 との共通範囲を求めて
すべての実数について、 2次不等式 ax+bx+c>0) が成り立つ
⇔2次関数y=ax²+bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
a> (下に凸) かつ D=6-4ac < 0 (x軸との共有点がない)
nor
[a < 0, D<0]
a≤-3
Ne
+
[a> 0, D<0]

Answer 1

数学婆婆

必要十分条件ね
そのままの意味ですよ。
「a≠2」と「不等式が常に成り立つ」の二つが必ず、どのような場合でも成り立つための条件→必要十分条件になります。
もうひとつの質問は図を描きました。↓
任意の実数xはすべての実数の中にあるのだけれど「 その中のどれかを指示している」という性質をもつという意味を掛け持っています。
どちらもほぼ同じです。
物理などでの実験性を含むものは任意の～が多い気がします。