Question

さく

この問題の解き方？というかほとんど意味分からなくて1から説明してくれる方いますか……？泣

80
基本例題 45 集合の包含関係
1以上100 以下の整数全体の集合Uを全体集合として考える。
A={x|x は整数の平方, xEU},B={x|x は偶数, x∈U},
C={xlx は 4の倍数,xEU} とするとき, CCAUBであることを示せ。
[類 京都産大]
p.77 基本事項 ⑤,⑥6
指針▷ AUB の要素を書き出そうとすると,かなり面倒。 そこで、次の①, ② を利用する。
ド・モルガンの法則 AUB A∩B
p.77 解説の (*)
PcQ⇒P>Q
よって
CCAUB
CCANB
したがって, CANB を導くことを考える。
①から
解答
A={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64,81,100}
ANBは, A の要素のうち偶数であるものだけを選んで
A∩B={4, 16,36,64, 100}
ANB の要素はすべて4の倍数であるから
CANB
CCANB
②←cとつに注意。
②から
CDANB
よって
ド・モルガンの法則により, A∩B=AUB が成り立つから
CCAUB
奇数の平方は奇数であるか
ら, A∩B は偶数 (2m) の
平方全体の集合である。
よって
A∩B={4m²|n≦5,NEU

数学 数1 集合 チャート

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

新世界の創造神2代目

私も解説を見なければ全然分かりませんでした。
なので解説を見ての補足を回答します。

A＝{ｘ｜1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}←2乗
B＝{ｘ｜2,4,6,8…94,96,98,100}←偶数
C＝{ｘ｜4,8,12,16,20…88,92,96,100}←4の倍数

それぞれの要素はこのようにして簡単に把握することができます。

ただ、解答・解説の指針に書いてある通り、
「Aではない要素またはBではない要素の集合は、Cではない集合を含む（＝Cではない集合は、Aではない要素またはBではない要素の集合に含まれる）」
これを書き出すのは面倒です。

Bではない要素は、偶数ではないということなので、奇数です。これを書き出すのは簡単です。

一番難しいのはAではない要素です。
整数ではない平方と考えたらいいのか、平方ではないと考えなければならないのかもわかりません。

これが難しいので、解答ではド・モルガンの法則を使って問題を解いているんだと思います。

①は、
「『Aではない要素またはBではない要素』は、『Aの要素かつBの要素ではないこと』と同じ」
という意味です。

②は、
「『Pではない集合はQではない集合に含まれる』ことと、『Pという集合はQという集合を含む』ことは、矢印の右から左、左から右のように入れ替えてもよい」
という意味です。

これらを利用して、「Cではない集合は、Aではない要素またはBではない要素の集合に含まれる」を、
法則②に当てはめやすくするために、
まず①を利用して、アルファベットの上にある棒の配置を②の矢印の左側と同じようにして、
②を利用して、矢印の右側に変えています。

こうすることで、集合の要素が考えやすくなりました。

「AかつBはCに含まれる＝CはAかつBを含む」

AかつBは2乗した数の中から偶数のものを探し出し、まとめます。元が偶数の2乗をまとめると、
AかつB＝{ｘ｜4,16,36,64,100}
こうなります。

このAかつBの要素はすべて4の倍数なので、Cの集合に含まれ、正しいです。

ここから、解説ではなぜか分数のような書き方をしていますが、なぜこのような書き方をするのかは分かりません。

そして、元の問題で「○○であることを示せ」と言われているのに、勝手に○○を△△に変えているので、
「この法則を使いました」という説明のような文言を書いて、「○○と△△は同じである」ことを示し、
「○○と△△が同じだから、△△で成り立つなら○○でも同じことが言える」と解説に書いてあります。

さく

丁寧にありがとうございます！！！！助かりました😭