この問題で増減表を書く時に、αとβの値が分からないので数値を代入してf'(x)が－か+かどうか調べることができないのですがこの増減表の符号はどうやって決めているのでしょうか？
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基本例題 182 最大値・最小値から関数の係数決定 (2)
x-b
x² +a
a,bは定数で, a>0とする。 関数f(x)=
であるとき, a, bの値を求めよ。
[弘前大〕 ●基本180,181
指針 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0 となるxの値が複
雑なため、 極値の計算が大変。
そこで、
******
複雑な計算はなるべく後で に従って,f'(x)=0 の解をα,Bとし
2次方程式の解と係数の関係を利用して, α+β, αB の形で極値を計算する。
また, 関数 f(x) の定義域は実数全体であるから、増減表から最大値・最小値を求めるとき
は、p.306 の例題 180 同様,端の値として x±∞のときの極限を調べ,極値と比較。
解答
a>0 であるから,定義域は実数全体。 X-C2+1)x+αB=0
f'(x)=x2+a-(x-b)・2x
(x²+a)²
f'(x)=0 とすると x2-2bx-a=0
この判別式をDとすると
練習
x²-2bx-a
a-b
a² + a
関数f(x)=
/ (x²+a)²
①
4
ゆえに,f(x)はx=αで最小値f(α)
x=βで最大値f(B)
1
2'
x+a
条件から f(a)=
したがって 2α-26=-o'-a,
② により, a b を消去すると
2a-(a+B)=-a²+aß,
整理すると 2+(1-β)α-β=0,
よって (a-B)(a+1)=0,
αキβであるから α=-1, β=3
ゆえに、②から
2=26, -3=-a
すなわち
a=3、b=1
の最大値が 13.
L
D=(−b)²-1• (-a)=b²+a
+
a>0であるから
62+α>0
ゆえに D>0
よって, 方程式 ① は異なる2つの実数解 α, β (a <β) をもち, 解と係数の関係(*) から
α+β=26, aß=-a
970よりBOXくわから50
増減表は右のようになり lim f(x)=0, lim f(x)=0
00
X→∞
Ext
f(B)=
0-00に
ないないので
をとる。 Max Min
B²+a
6β-66=β2+α
x
00000
最小値が
◄ ( ² ) = ²
B-61があることが
6 わかる
6B-3(a+B)=B²-aß
B'-(3+α)β+3a = 0
(B-a)(B-3)=0
f(0) = -a
(9>0) Fy f(0) 50
B
f'(x)
0 + 0
f(x) 極小 極大 >
u'v-uv
02
0)について次のものを求めよ。
a
...
(*) 解と係数の関係
2次方程式
ax²+bx+c=0の2つの
解を α, β とすると
b
a+B=-₁
aß=
a
a
基本
αを正
AB=
ABC
指針>
解
IZAI
0<E
26
a
C
とても参考になりました。ありがとうございます。