(a)
円運動の向心力が万有引力となるから
mV₀²/Rp = GMm/Rp² ⇒ V₀ = √(GM/Rp)
(b)
運動量保存則より
mV₀-m'V' = (m+m')uf ⇒ uf = (mV₀-m'V')/(m+m')
(c)
位置rでの力学的エネルギーEは
E = 1/2･(m+m')V² - GM(m+m')/r
(d)
面積速度が一定なので
un･Re = uf･Rp ⇒ un/uf = Rp/Re
(e)
近日点と遠日点で力学的エネルギー保存則を考える
近日点は(c) にV = un , r = Re を代入して
1/2･(m+m')un² - GM(m+m')/Re
遠日点は(c) にV = uf , r = Rp を代入して
1/2･(m+m')uf² - GM(m+m')/Rp
これらが等しくなり、質量を消去すると
1/2･un² - GM/Re = 1/2･uf² - GM/Rp
⇒ uf² - un² = 2GM(1/Rp - 1/Re)
また(d)よりun = uf･Rp/Re を代入して
⇒ uf²( 1 - Rp²/Re²) = 2GM(1/Rp - 1/Re)
⇒ uf²(Re²-Rp²)/Re² = 2GM(Re-Rp)/ReRp
⇒ uf² = 2GM/(Re+Rp) × Re/Rp
⇒ uf = √{2GM/(Re+Rp) ･ Re/Rp}
(f)
V₀ = √{2GM/Rp}
uf = √{2GM/Rp ･ Re/(Re+Rp)}
よって √ {Re/(Re+Rp} 倍
また Rp = 3Re を代入すると 1/2 倍
uf の速度はわかりませんでした
(g)
地球の公転周期Tと軌道半径Reの関係は
比例定数kを用いて
T³ = kRe² ⇒ k = T³/Re²
この比例定数kは惑星によらず一定であるから
小惑星にも適用できて、小惑星の周期T'は
T'³ = (T³/Re²)Rp² = (T³/Re²)(3Re)² = 9T³
⇒ T' = ³√9･T
近日点に来るのは衝突から半周期後なので
(³√9)/2 × 3.14 × 10⁷ ≒ 3.1×10⁷[s]
もしよろしければ
ベストアンサーいただけませんか？
(f)
衝突前の小惑星の周期をT₀とすると
T₀³ = kRp²
k = T³/Re² を代入して
T₀³ = T³/Re² ×Rp² = 9T³ ⇒ T₀ = ³√9･T
小惑星の軌道は円とみなせるので
V₀ = 2πRp/T₀ = 6πRe/(³√9･T) = 2³√3πRe/T
ufはV₀の半分だから
uf = 1/2･V₀ = ³√3πRe/T
⇒ uf = ³√3×3.14×1.5×10⁸/3.14×10⁷
⇒ uf = ³√3×15 ≒ 22 [km/s]