Question

おにぎり

2枚目の写真の⑶のシャーペンで丸をつけた二つの式がわかりません。できるだけ早めに教えて欲しいです🙇

102
(120)
Think
例題 B1.55 n を含む確率 (1)
とし、同じ番号の札はないとする. この袋から3枚の札を取り出して,札」
1からnまでの番号のついたn 枚の札が袋に入っている.ただし,n≧3
の番号を大きさの順に並べるとき, 等差数列になっている確率を求めたい.
nが以下の場合について, その確率を求めよ、との
(n=7の場合
BES
(2)n=8 の場合(3) n(n≧3) の場合
考え方 (12) 具体的に数字を書き出して考える.
(3) 一般に, n が奇数のときは,最大の公差をもつ等差数列は1つであり,nが偶数
のときは、最大の公差をもつ等差数列は2つある。いま
(1) 3枚の札の取り出し方は,
C335(通り)
110
(i) 札の番号が連続 (公差1) のとき,
(1. 2. 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5).
(4,5,6567)の5通り
(ii) 札の番号が1つとび (公差2) のとき
(1,3,5), (2,4,6), (3,57)の3通り
(1) 札の番号が2つとび (公差3)のとき
(1,4,7)の1通り
よって, (i), (ii), ()より,
PASS
5+3+1
35
=
(2) 3枚の札の取り出し方は,
C56(通り)
(1) 札の番号が連続(公差1) のとき、廻り (1) つ
(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5),
(4,5,6),(5,67),(6,7,8) の6通り
(i) 札の番号が1つとび (公差2) のとき
よって, (i),(ii), (i)より,
9 +3831
35
(1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7),
(4, 6, 8) の4通り
(i) 札の番号が2つとび (公差3) のとき
(147) (258)の2通り
****
6+4+2 3
56
14
P348
1
メー
(1)
A

19
(3) 3枚の札の取り出し方は,
(i) n が奇数のとき
札の番号が連続(公差1) のとき
(1, 2, 3).
(n-2) 通り
札の番号が1つとび (公差2) のとき
(1, 3, 5).
(-4) 通り
札の番号が2つとび (公差3) のとき
,C,=n(n-1)(n-2)
6
(n-2, n-1, n
n-3+ D
札の番号が3つとび (公差4) のとき,
(1, 5, 9), ..., (n-8, n-4, n)
..., (n-4, n-2, no
(1, 4, 7), …, (n-6, n−3, n)o
n-6) 通り
(ii) n が偶数のとき
n+1
2
て, nが奇数のとき
(n-2)+(n-4) + ......+1
nC3
(-8) 通り
同様に考えて、最後の公差が最大(公差1)
とき,
したがって.
6
n(n-1)(n-2) 4
6
n(n-1)(n-2)
nが奇数のとき,
nが偶数のとき,
の通り
(i) と同様で,最後の公差が最大公差
#C3
(n-1)²,
(n-2)+(n-4) + ...... +2
n+2
(1. 22. n-1). (2. 72. n) 2.5
よって, n が偶数のとき,
的帰納法
- (通り)
n (n=2)
4
3(n-1)
2n(n-2)
3
2(n-1)
3(n-1)
2n(n-2)
3
2(n-1)
のとき
(121)
26
1 n-1
2
2
(n-2)+(n-4) +
B1-107
(n-1)²
4
x{1+(n-2)
第
1_n-2
2 2
(n-2)+(n-4) -
X{2+ (n -
n(n-2)

focus gold 漸化式と数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

最初の〇で囲んだ部分

①nＣ₃について

　　例えば，7枚から3枚取り出すときが，₇Ｃ₃なので

　　n枚から3枚取り出すので「nＣ₃」

②nＣ₃の式について

　　例えば，₇Ｃ₃＝{7×6×5}/{3×2×1}のように

　　　nＣ₃＝{n(n－1)(n－2)}/{3×2×1}

　　　　　＝{n(n－1)(n－2)}/6

――――――――――――――――――――――――
次の〇について

●左の式を約分しています

　「6」と「4」を[2]で約分し，「3」と「2」

　(n－1)²と(n－1)を(n－1)で約分し，(n－1)と「1」

　　以上から，〇の式になっています

おにぎり

理解できました！ありがとございます！あともう一つ聞きたいんですが、⑶〔i〕の終わりの方の「同様に考えて・・・」のところで最後の公差はどうしてn-1/2になるのですか？

mo1

3つの数の公差が最大という事は

　３枚のうち，

　　最小の数が，一番小さい「1」

　　最大の数が，一番大きい「n」

　　真ん中の数は，等差数列なので，その中間の「(n＋1)/2」

　そして，公差が

　　第一項と第二項の差　{(n＋1)/2}－1＝(n－1)/2

　　第二項と第三項の差　n－{(n＋1)/2}＝(n－1)/2

　という感じになっています。

おにぎり

めっちゃわかりやすいです！ありがとうございます😭

おにぎり

すいません！偶数の方も教えて欲しいです！どうして２通りになるんですか？
2通りのうちの右側はわかるんですけど左側がよくわかんないです。nは偶数だから１はダメじゃないんですか？

mo1

＞どうして２通りになるんですか？

　●例えば，

　(ⅰ)nが奇数のときの例
　　n＝7のとき，公差最大(3)のとき
　　　{1，4，7}　しかありませんが

　(ⅱ)nが偶数のときの例
　　n＝8のとき，公差最大(3)のとき
　　　{1，4，7}，{2，5，8}の2通りあります

　●このような感じで，偶数の時は２通りできます

――――――――――――――――――――――――
＞nは偶数だから１はダメじゃないんですか？

　●「n」は「1からnまで」の数の「n」を表すので
　　数列に使う数は，奇数か偶数かは関係ありません

おにぎり

またまたすみません🙇
写真の2個目のシャーペンで丸をつけたところ式の前の段階の(n-1)2/4をどうやって出すのかがわかりません

mo1

右の欄外に書いてあるように，

分子部分[(n－2)＋(n－4)＋･･･＋1}が

　1＋･･･＋(n－4)＋(n－2)　という等差数列で，

　　初項1，末項(n－1)，項数(n－1)の和であるので

　公式(1/2)n{a₁＋an}より

　　(1/2){(n－1)/2}{1＋(n－2)} で

これうを，整理すると

　　(n－1)²/4　となります

補足

{初項1でnが奇数のときの項数}
例：1＋3＋7＋9＋11＋13　で
　項数は，{13－1}/2＝6

mo1

御免なさい，下から5行目，文字の訂正です

誤：これうを，整理すると

正：これを，整理すると

おにぎり

項数がn-1っていうのはどうしてですか？

mo1

k項目の奇数は (2k－1) と表されます

　例　第1項目：2×(1)－1＝1
　　　第2項目：2×(2)－1＝3
　　　第3項目：2×(3)－1＝5
　　　第4項目：2×(2)－1＝7
　　・・・・・

ですので，奇数の値から，項数を考えるには
　1を加えて，2で割ると，項数が出てきます

　例　1：(1＋1)÷2＝1項目
　　　3：(3＋1)÷2＝2項目
　　　5：(5＋1)÷2＝3項目
　　　7：(7＋1)÷2＝4項目
　　・・・・・

この場合，最終の奇数が　(n－2)　なので
　1を加えて，2で割ると

　{(n－2)＋1}/2＝(n－1)/2　と項数がわかります