Question

奏音

数B　数学的帰納法

数学的帰納法についてです。

n=1と置いたあと、
『n=kの時式が成り立つとすると（仮定）n=k+1の時成り立つ』
とあるのですが、
n=kがそもそも成り立たない場合はないのでしょうか？
仮定に基づいて証明して、その後にその証明を用いて仮定を証明したとしても、それは仮定の一部に過ぎないと言うような気がします
（語彙力壊滅的ですみません。）

数学的帰納法について説明いただきたいです
お願いします

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

トムくま

語弊がありますが、証明を始める段階ではn=kのときに成り立つかどうかは考える必要がありません。まさにそれが成り立つことを証明するからです。

n=kで成り立つかは分からないけど、一旦成り立つことにしてみよう、というのが仮定です。
そう仮定すると、n=k+1で成り立つことを示すことができました。
つまり、nがある数のときに成り立つことが示せれば、nがその次の数のときでも成り立つことが言える、ということがわかったわけです。
そこにn=1のときには成り立つ、という条件を加えます。
するとn=1で成り立つことが示せているので、その次の数であるn=2でも成り立つと言えます。
さらにするとn=2で成り立つことが示せたので、その次の数であるn=3でも成り立つと言えます。
これを繰り返すと全ての自然数nについて成り立つことが初めて言えるわけです。

これが数学的帰納法です。

奏音

ご丁寧にありがとうございます。ある程度の流れをつかむことができました。

同じ質問で申し訳ないのですが、
そのn=k+1で成り立つのはn=kが成り立つと「仮定」したときで、n=1が成り立つときにn=2が成り立つのはその「仮定」がある上でのことですよね？
仮定が崩れることはないのでしょうか？

全体的な流れは掴めたのですが理解力が乏しくその部分があまり理解できませんでした
すみません。
よろしくお願いします

トムくま

n=kで仮定したのはあくまでそれが成り立つかまだ分からないからです。
そしてそれを仮定するとn=k+1で成り立つことが示せます。

このことからわかるのは、もしあるn=kで成り立つことが示せればn=k+1でも成り立つ、ということです。
(ここで、上の文章にはもう仮定という言葉は入っていません。)

ここで今n=1のとき成り立つということは代入等すれば示すことができるので、上の論理からn=2でも成り立ちます。これを帰納的に繰り返すのが数学的帰納法です。

伝わりますでしょうか…？

奏音

理解できました
ありがとうございました！