Question

あなた

どういうことですか？
問題の概要を教えてください。

考え方
SO
解
3 漸化式と数学的帰納法 545
例題308 数列と図形 (1)
***
平面上にどの2つをとっても互いに2点で交わり,また,どの3つを
とっても同一の点で交わらないn個の円がある.これらの円によって平
面は何個の部分に分けられるか. その個数 an をnの式で表せ。食
n個の円がある状態から, (n+1) 個目の円をつけ加えたとき,もとのn個の円と何
ヶ所で交わるかを考える
円の個数 [5₁_n=1 n=2
練習
308
2
ISHOKIS 2
31 2
4
k=1
(2)より。
=n²-n+2
これは,n=1のときも成り立つ。
よって, an=n²on+2
n=3
2
+2
6 3 7
2 4
5
割される.これらの弧に対して, それぞれ新たな平面の部
分が1個ずつ増えるので,平面の部分は 2n個増える .
したがって, an+1=an+2n *b+8x1" (1).
d=2-2
n≧2のとき, an= a₁ +2k=2+2.(n-1)n
4
+4
8
HE
7
+
n=4
2
14
増えた交点の個数
6
増えた平面の数
+6
平面が分けられる数
20140AH
80
14
実験より,(増えた交点の個数)=(増えた平面の部分の数) であることがわかる .
4.
10
12
n=1のとき, a₁=2
n個の円があるとき, (n+1) 個目の円を新たにかくと, この円はn個の円とそ
れぞれ2回ずつ交わる.
すなわち、他の円と2n個の交点を持つので, (n+1) 個目の円は2個の弧に分
-3
9
13
n=3のとき,
4つの交点に対して,
4つの弧
1)
A
4つの新たな平面
Focus
くり返しによる図形の問題については,まず図をかいて規則性をつかもう
とくに番目と(n+1) 番目の関係を式で示す
注 この問題を, 平面を球面にして, 「球面上に,どの3つをとっても1点で交わらな
n個の大円 (半径が球の半径に等しい円) がある.これらn個の大円は球面上を
いくつの部分に分けるか, その個数αをnの式で表せ.」 という問題も全く同じ考
え方で, an=n²-n+2 であることがわかる.
三角形ABC の各頂点と, それぞれの対辺上の両端以外の異なる100 個の点
を直線で結ぶと, これら300本の直線によって三角形ABCの内部はいくつ
の部分に分けられるか。 ただし、どの3直線も三角形ABC内の1点で交わ
(名古屋市立大)
数
列