Question

たぷ

やさしい理系数学例題10です。問題文では明らかに条件が足りず回答では条件を付け足しているように思えます。これをして良いのはなぜか教えていただきたいです。

Sを半径1の球面とし, その中心を0とする. 頂点Aを共有し, 大き
さの異なる2つの正四面体 ABCD, APQR が次の2条件をみたすとする.
点 0, B, C, D は同一平面上にある.
点 B, C, D, P, Q, R は球面 S 上にある。 GA
このとき,線分 AB と線分 AP の長さを求めよ.
(大阪大)

$7
[2]
D
B
A
10
(i)
B
D
10
30°
1
C
(ii) 1
P
AB
HA
1-
A();
08
1080
√√3
B
F
(i) 三角形 BCD は, 点0 を通る平面と球面 S の交線である半径1の円に内
接する正三角形である.
:.BC=20B cos30°=√3.... AB=BC=√3.
(答)
(Ⅱ),正四面体 APQR と正四面体 ABCD において, A, P, B は一直線上にあ
るとしてよい。上図 (ii), において, △ABO △OBH.
∴. AB: BO=0B: BH.
:: BH-BO-3
BO²
AB
=
v3
2
1
∴.AP=AB-BP=√3-2BH=√3
√3 √3
(i)2上図 (ii), において, EF を直径とすると, 方べきの定理より
AP・AB=AE・AF.
AP= AE・AF___(√2-1)(√2+1)
√√3
3
A
P
E
1√2
1
(土)
(答)
(答)

阪大数学 図形

Answer 1

S

今回｢正四面体｣というキーワードがありますのでそこに着目してあげると、対称性があるので二四面体は相似となるはずです。
Aを共有するのでAを固定してそこを頂点として図形を縮小拡大してあげるとお互いに一致します。
だからその対称性があるからこそ今回一直線上が言えるわけです。