Question

らむ

ケコ　が分かりません
教えてください🙇

C₂
ころ
R"
数学Ⅰ･数学A
第4問
自然数nの累乗を17で割ったときの余りについて考える。さら
(選択問題)
(1)n=1,2,3,4,5,6,7,8のとき,n を17で割った余りは表1のように
なる。
n
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、解
(配点20)
neを17で
割った余り
=
つ
433
となることがわかる。
1
1356) 17.20+16
17²20g
22
1
1
=16
=256
2
4
らが
n=9のとき, 917-8 であるから
92= (17-8)²
=172-2×17×8+82
4
=17(17-2×8 ) +82
3
9
9
表 1
X
したがって, 92 を17で割った余りはアイ
4,
16
同様に考えると,3562 を17で割った余りは
16
13
42 -
16
936
16
256
5
25
8
6
36
である。
2
7
49
15
20
17)356
34
7/8
16
34
8
64
86
8.5
13
ウである。
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
16
175
15/256
ノク
17
5
97
17/34
133²
16
14
²0+16
2²=0433
n²³ 17.0+134)
数学Ⅰ・数学A
(2) 17+1=n².① を満たす自然数nの組について考えてみよう。
① を変形すると
171=n2-1
1=inp
aimpt/
7p599
In-974
=(n+1)(n-1)
15
となり, 17 は素数であるから, n+1またはn-1が17の倍数である。
n+1が17の倍数であるとき、自然数を用いて
n+1=17p
n=17p-1
mpt 1/100とま
P/5.
84
1台170-14100
25170 ≦101
②のように表されるnのうち, 1≦n'≧ 100 の範囲にある最大のものは
と表される。
X
エオ
である。
P=5
また, n-1が17の倍数であるときも含めると、①を満たす自然数nの組で
1≦x≦100 を満たすものは全部で カキ 個ある。
10
(3) 17m+1=n ...... ③ を満たす自然数m,nの組について考えてみよう。
③を変形すると
17m=n²-1
=(n²+1)(n²-1)
となり, 17 は素数であるから n²+1またはn²-1が17の倍数である。
16:30
²+1が17の倍数となるのは、nが, 17で割ると
余る数または
ケコ
5
10)
875
16
余る数のときである。
in SPS 15
ク
- 43 -
また, n²-1が17の倍数であるときも含めると, ③を満たす自然数m,nの組
で1≦n≦100 を満たすものは全部でサシ 個あり,このうち最大のnは
スセである。また, nが最小となるときのの値はソタである。

(3)
17m+1=n4… ③ を変形すると
17m=n^-1=(n²+1)(n²-1)
17 は素数であるから n' + 1 またはn-1は17の倍数である。
また, 17m > 0, n² +1 > 0 より, n²-1>0 であり, n>1
mnの組で, 1≦n ≦100 を満たすものは全部で10個ある。
n²-1が17の倍数となるのは, (2Xi), (ii) の場合であり,これを満たす自然数
n²+1が17の倍数のとき, 自然数g を用いて
n²+1=17g
n²=17g-1=17(g-1)+16
と表されるから、 「n²を7で割った余りは16 である ......⑥」。
⑥を満たす最小のnは, 表1 より n=4
また, (1) と同様に考えると, 整数αに対して α と (17-α) を17で割った
余りは等しいことがわかる。
さらに,整数a に対して, αと (a +17) を17で割った余りは等しいこと
がわかる。
よってn²+1 が 17の倍数となるのは, nが17で割ると4余る数または
13 余る数のときである。 したがって, ⑥を満たすnは整数を用いて
n=17k+4 または n=17k+13
と表される。
(ア)n=17k+4 のとき、1≦n≦100 と⑤より
1 <17k+4 ≦100
96
-17<k≤ 17
は整数であるからk = 0, 1,2,3,4,5
よって, nは全部で6個ある。
(イ)n=17k+13 のとき, 1≦n≦100と⑤より
1 <17k+13 ≦100
287
12
-1/7/<k≤17
17m=(42+1)(42−1)
である。
んは整数であるから k = 0, 1,2,3,4,5
よって, nは全部で6個ある。
ここで, (i)(i),(皿)(ア), (Ⅲ(イ)はnを17で割った余りがすべて異なるから, (i),
(ii)()()()(イ) の2つ以上を満たすnはない。
したがって, (i), (i), ()(ア), (Ⅲ)イ)より, ③を満たす自然数m,nの組で、
1≦n≦100 を満たすものは全部で
10+6+6= 22 (個)
また, nの最大値 最小値を考えると
(i) のとき 最大値 84, 最小値 17×1-1=16
(i) のとき 最大値 17×5+1 = 86, 最小値 17×1 +1 = 18
()(ア)のとき 最大値 17×5+4 = 89, 最小値 17×0+4=4
(イ)のとき 最大値 17×5+13 = 98, 最小値 17×0+ 13 = 13
したがって, nの最大値は98, 最小値は4である。
また, n=4のとき
17･15
m= 17
=15
解法の糸口
色Ⅰ・数学A
法
整数a について
た余りをrとすると,
て
AB2+CA²=
217で割った
て,(1)の表や与えられ、
を利用する。
a² = 17b+r
と表される。このとき
(17-a) ²
AB = 8, B-
82 +1C
164=
AM²
AM>0 &
また、方へ
AL
=172-2×17a+α²
=17(17-2a+b)+r
(a+17) ²
AN=12/2
= α²+2ax17+172
=17(6+2a+17)+r
A
次に,
ここ
したがって (17-α)2 と
それぞれ17で割った余りは
ま

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

n=17k+4が分かってるの？
それならnは二乗するんだから
n=17k-4にしても出てくる定数項は変わらんでしょ？
だから-4が入るってしたいんだけど0<ケコ<17なんだからダメ
定数項に±17しても表す事は変わらんのだから-4+17=13として答えは13

らむ

ありがとうございます