Question

しょー

⚠️至急
この問題の証明方法教えて頂きたいです！出来れば証明の内容もお願いします🙇🏻‍♀️

1. nは自然数とする。このとき、111は10の倍数であることを思いつく限りの方
法で証明せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

解法1)(二項定理)
11ⁿ－1
＝(10＋1)ⁿ－1
＝{10ⁿ＋10ⁿ¯¹nC1＋10ⁿ¯²nC2＋…＋10¹nC(n-1)＋1}－1
＝10(10ⁿ¯¹＋10ⁿ¯²nC1＋…＋nC(n-1))
10ⁿ¯¹＋10ⁿ¯²nC1＋…＋nC(n-1)は整数より
11ⁿ－1は10の倍数

解法2)(mod)
11ⁿ－1≡1ⁿ－1≡0 (mod10)
よって11ⁿ－1は10の倍数

解法3)(等比数列の和の公式を利用した因数分解)
1+11+11²+…+11ⁿは初項1、公比11、項数nの等比数列の和
よって、1+11+11²+…+11ⁿ＝1×(11ⁿ－1)/11－1
＝(11ⁿ－1)/10より、
11ⁿ－1＝10(1+11+11²+…+11ⁿ)
1+11+11²+…+11ⁿは整数より11ⁿ－1は10の倍数

解法4)(帰納法)
n＝1の時11¹－1＝10これは10の倍数よりn＝1で成立
n＝kの時11^k－1が10の倍数とする。
よって11^k－1＝10m(m:整数)と表される
n＝k＋1の時
11^(k＋1)－1＝11^k×11－1
＝(11^k－1)×11＋11－1 (11^kを11^k－1にして－11が出てくるから調整として11を足した)
＝10m×11＋10
＝10(11m＋1)
11m＋1は10の倍数より10(11m＋1)は10の倍数
よってn＝kが成り立つもとでn＝k＋1の時成り立つ
以上より全ての自然数nについて11ⁿ－1は10の倍数

こんな感じです

ふぃる

解法5)(周期性)
一般項a_n＝11ⁿ－1の数列{a_n}を考える
a_(n＋1)－a_n
＝11^(n＋1)－1－(11ⁿ－1)
＝11^(n＋1)－11ⁿ
＝11ⁿ(11－1)＝11ⁿ×10
よってa_(n＋1)－a_nは10の倍数
したがってa_(n＋1)とa_nを10で割った余りは等しい
すなわちa_(n＋1)とa_nの1の位は等しい
a_1＝11－1＝10より1の位は0
帰納的に全ての自然数nについてa_n(＝11ⁿ－1)の1の位は0
したがって全ての自然数nについて11ⁿ－1は10の倍数

しょー

たくさんの解法ありがとうございます😭助かりました！！