数学
高校生
解決済み

⚠️至急
この問題の証明方法教えて頂きたいです!出来れば証明の内容もお願いします🙇🏻‍♀️

1. nは自然数とする。このとき、111は10の倍数であることを思いつく限りの方 法で証明せよ。

回答

✨ ベストアンサー ✨

解法1)(二項定理)
11ⁿ-1
=(10+1)ⁿ-1
={10ⁿ+10ⁿ¯¹nC1+10ⁿ¯²nC2+…+10¹nC(n-1)+1}-1
=10(10ⁿ¯¹+10ⁿ¯²nC1+…+nC(n-1))
10ⁿ¯¹+10ⁿ¯²nC1+…+nC(n-1)は整数より
11ⁿ-1は10の倍数

解法2)(mod)
11ⁿ-1≡1ⁿ-1≡0 (mod10)
よって11ⁿ-1は10の倍数

解法3)(等比数列の和の公式を利用した因数分解)
1+11+11²+…+11ⁿは初項1、公比11、項数nの等比数列の和
よって、1+11+11²+…+11ⁿ=1×(11ⁿ-1)/11-1
=(11ⁿ-1)/10より、
11ⁿ-1=10(1+11+11²+…+11ⁿ)
1+11+11²+…+11ⁿは整数より11ⁿ-1は10の倍数

解法4)(帰納法)
n=1の時11¹-1=10これは10の倍数よりn=1で成立
n=kの時11^k-1が10の倍数とする。
よって11^k-1=10m(m:整数)と表される
n=k+1の時
11^(k+1)-1=11^k×11-1
=(11^k-1)×11+11-1 (11^kを11^k-1にして-11が出てくるから調整として11を足した)
=10m×11+10
=10(11m+1)
11m+1は10の倍数より10(11m+1)は10の倍数
よってn=kが成り立つもとでn=k+1の時成り立つ
以上より全ての自然数nについて11ⁿ-1は10の倍数

こんな感じです

ふぃる

解法5)(周期性)
一般項a_n=11ⁿ-1の数列{a_n}を考える
a_(n+1)-a_n
=11^(n+1)-1-(11ⁿ-1)
=11^(n+1)-11ⁿ
=11ⁿ(11-1)=11ⁿ×10
よってa_(n+1)-a_nは10の倍数
したがってa_(n+1)とa_nを10で割った余りは等しい
すなわちa_(n+1)とa_nの1の位は等しい
a_1=11-1=10より1の位は0
帰納的に全ての自然数nについてa_n(=11ⁿ-1)の1の位は0
したがって全ての自然数nについて11ⁿ-1は10の倍数

sk

たくさんの解法ありがとうございます😭助かりました!!

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