Question

🎀 え ぬ て ゃ 🎀

FocusGoldSmart数2の問題です。
大問23の解き方がわかりません。
別解の方の解き方が乗っていない為わからないので誰か教えていただけませんか❔

明日までに教えていただけると助かります❕

る.
をそ
して
Focus
a+b+c=1.abe=be+ca+ab
とも1つは1に等しくなることを証明せよ。
考え方]
「
のうち少なくとも1つは1に等しい」とは､
a=1 または b=1 または e=1」 のことである。
実数α, βについて αβ=0 のとき、 α=0 または 8=0 であることを利用する。
a,b,cのうち、少なくとも1つは1に等しくなるとは,
a=1 または b=1 または e=1
のことである.
のとき, 実数a,b,cのうち少なく
したがって
(a-1)(b-1)(c-1)=0 ......①
であることを示せばよい.
①の左辺を変形すると.
(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=abc-ab-ac+a-bc+b+c - 1
=abe-(bc+ca+ab)+(a+b+c)-1
=abc-abc+1-1=0
条件を利用して ① が成
り立つことを示す。
したがって, a+b+c=1.abc=bc+ca+ab のとき abc=bc+catah
等式 ① は成り立つから. ①より
|a+b+c=1
α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
よって, a=1 または b=1 またはc=1 となり.
a b c のうち少なくとも1つは1に等しくなる.
(別解) 実数 a b c が与えられた条件を満たすとき
実数 a b c を解とする3次方程式は.
abc=bc+ca+ ab=k (k は実数) とおくと.
x-x+kx-k=0
と表せる.
これを変形すると,
x(x-1)+k(x-1)=0
(x-1)(x²+k) = 0
よって, x=1 を解にもつので、 a.b.cのうち
少なくとも1つは1に等しくなる.
実数α. β.yについて
aβy=0
⇔α = 0 または
80 または
y=0
3次方程式
ax2+bx+cx+d=0
の3つの解をα. B. yと
すると.
a+β+y=- b
a
a+by+ya=/c
aβy=- d
a
(p.120 解説参照)
「少なくとも1つは☆に等しい」 は 「積) =0」 を示せ
注〉 (a-b)(b-c) (c-α)=0 となるとき, a b または b c またはca」 であるか
ら、「a b c のうち少なくとも2つは等しくなる」 となる。

Focus
練習
23
***
またはb-10 または c-10
よって, a=1 または b=1 またはc=1 となり
a,b,cのうち少なくとも1つは1に等しくなる。
(別解) 実数a,b,cが与えられた条件を満たすとき
実数a,b,c を解とする3次方程式は,
abc=bc+ca+ab=k(kは実数)とおくと,
x-x2+kx-k=0
と表せる.
x(x-1)+k(x-1)= 0
(x-1)(x2+k)=0
よって, x=1 を解にもつので, a,b,cのうち
少なくとも1つは1に等しくなる.
これを変形すると,
1 1 1
x,y,zが実数のとき, x+y+z=a, + +
x y Z
ち少なくとも1つはαであることを証明せよ.
atbtc!
a
3次方程式
ax+bx+cx+d=0
の3つの解をα.B.yと
すると,
a+B+y=-
b
a
「少なくとも1つは☆に等しい」 は「(積) =0」を示せ
注〉〉 (a-b)(b-c) (c-a)=0となるとき, 「a=b または b=c またはc=a」 であるか
ら、 「a,b,cのうち少なくとも2つは等しくなる」 となる.
aβ+By+ya=
d
a By=-
a
(p.120 解説参照)
a
ならば,x,y,zのう
p.68 18

23
したがって.
(左辺)
I+a+ab
1+a+ab_
I+a+ab
よって, abc=1のとき.
b
等式 1+a+ab+1+b+bc1+c+ca
が成り立つ.
=0
x,y,zが実数のとき, x+y+z=a.
も1つはαであることを証明せよ.
=xyz-xyz+a・ai-
-=1= (右辺)
1 + 1 + 1 = 1 * ". a(yz+zx+xy)=xyz
xyza
これと x+y+z=a より,
(x-a)(y-a)(z-a)
=xyz−(xy+yz+zx)a+(x+y+z)a²— a³
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)
=3²-2×3=3
1 11
za
(a−1)²+(b-1)²+(c −1)²
=a²+b²+c²-2(a+b+c)+3
=3-2×3+3=0
xy
ならば,x,y,zのうち少なくと
PUTZ AvCpl #4
したがって. (x-a)(y-a)(z-a)=0
よって, x=α またはy=a または z=a となり,
x,y,zのうち少なくとも1つはαである.
24
a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, 実数 a b c はすべて1に等しいことを証明せよ.
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca £ 1,
〔両辺に axyz を掛けて、使い
やすい形にしておく.
| (x-a)(y-a)(z-a) = 0 を示す.
| (xy+yz+zx)a=xyz,
x+y+z=a
を代入する.
x,y,zのうち少なくとも1
つが αである
⇒(x-a)(y-a)(z-a)=0

focusgoldsmart 等式不等式の証明